Calcolare integrale di una regione di grafico.

[Marcomix1]

$\int_t(xdxdy)$ ove $t$ è la regione compresa tra l'asse $x$, $x=1$ e $y=x^2$.
Ora la regione che ottengo è quell'area tra $(0,0)$,$(0,1)$ e $(1,1)$ giusto? devo comportarmi come se davanti avessi un triangolo? e quindi spezzettare l'integrale in tre pezzi con estremi definiti dai lati? Però a parte i cateti, "l'ipotenusa" non è retta: cioè è la parte curva della parabola che va da $(0,0)$ e si interseca con la retta $x=1$, quindi il ragionamento del triangolo non lo posso fare.

Come mi devo comportare?

[Plepp]

Ciao. Usa le solite formule di riduzione...è semplice

[Marcomix1]

scusa ma non ho capito! mi sapresti dare una risposta piu esaustiva alle mie domande?

[previ91]

Non si capisce bene la tua richiesta !!
Devi calcolare l'integrale di linea lungo la curva che si forma con quelle restrizioni o l'area dell'intervallo che ti si forma ?

Se devi calcolare l'integrale di linea puoi parametrizzare i tre "pezzettini" e calcolarti i tre integrali di linea separatamente per poi sommarli.
In caso tu debba calcolare l'area devi usare le formule di riduzione dato che hai un dominio semplice con x compreso tra 0 e 1.

[Plepp]

Se ho capito bene, devi calcolare un integrale doppio, no? Bene, in tal caso, hai un dominio $y$-semplice (non so come sei abituato a chiamarlo tu, forse normale rispetto all'asse $x$? ), dunque del tipo
\[D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\ :\ a (puoi prendere anche le disuguaglianze non strette, chè è lo stesso).

Per calcolare l'integrale doppio di una $f(x,y)$ esteso ad un siffatto dominio, puoi usare la formula di riduzione:
\[\iint_D f(x,y)\ dx\,dy=\int_a^b\left( \int^{g_2(x)}_{g_1(x)} f(x,y)\ dy\right)\ dx\]

Va bene ora?

[Marcomix1]

allora calcolando ho $0 Giusto il modo di come trovo l'intervallo di $y$?

Se lo fosse allora farei integrale doppio aventi questi estremi $0,1$ e $0,1$ della funzione data $xdxdy$

[Plepp]

Noooo $y$ è compreso tra due funzioni di $x$! Ovvero $y=g_1(x)=0$ (l'asse $x$) e $y=g_2(x)=x^2$. Dal momento che $x$ varia in un intervallo limitato, e data la natura di $g_1$ e $g_2$, allora anche $y$ varia in un intervallo limitato.
Se non è chiaro un disegno ti chiarisce tutto. Per esempio, Se $0

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[Marcomix1]

si ora ho capito benissimo!

[Plepp]

Mi fa piacere