Calcolare integrale definito attraverso la definizione?
Salve, volevo sapere una cosa. Ho la funzione $f(x)=x^2$ e voglio calcolare l'integrale definito tra $0$ e $5$ attraverso la definizione. Come faccio? Non mi interessa il calcolo dell'area sottesa dalla funzione tra $0$ e $5$ mediante le usuali tecniche di integrazione, ma voglio sapere come giungere a quel risultato applicando esclusivamente la definizione di integrale, inteso cioè come limite di somme. Io non so come impostare il problema. Grazie mille per l'aiuto.
Risposte
"lisdap":
Salve, volevo sapere una cosa. Ho la funzione $f(x)=x^2$ e voglio calcolare l'integrale definito tra $0$ e $5$ attraverso la definizione. Come faccio? Non mi interessa il calcolo dell'area sottesa dalla funzione tra $0$ e $5$ mediante le usuali tecniche di integrazione, ma voglio sapere come giungere a quel risultato applicando esclusivamente la definizione di integrale, inteso cioè come limite di somme. Io non so come impostare il problema. Grazie mille per l'aiuto.
$I = (0,5]$
$AA n in NN$ considera $x_1 , ... , x_n$ una decomposizione dell'intervallo $I$ tale che $AA h , mis( (x_(h-1) , x_h ] ) = 5/n$.
Costruisci quindi le somme di Riemann:
$sum_(h = 1)^n (x_(h) - x_(h - 1)) f( xi_h )$
$x_h - x_(h-1) = 5/n$ , mentre $xi_h in (x_(h-1) , x_h ] $ è scelto in modo tale che coincida con l'estremo superiore di ogni intervallino della decomposizione; ovvero $xi_h = x_h$.
$sum_(h = 1)^n (x_(h) - x_(h - 1)) f( xi_h ) = sum_(h = 1)^n 5/n (h * 5/n)^2 = 125 (sum_(h = 1)^n h^2)/n^3 = 125 ( n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ))/(6 n^3)$
L'integrale è $lim_(n -> oo) 125 ( n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ))/(6 n^3) = 125/3$ .
Potrei calcolare l'integrale in questo modo?
Conoscendo la funzione che approssima l'identità:
$$ d(x)=\sum_{k=1}^{n2^n} \frac{k-1}{2^n} I_{\left[\frac{k-1}{2^n},\frac{k}{2^n}\right)}(x)+nI_{[n,\infty]}(x) $$
posso comporla con una qualsiasi funzione $f$, per esempio $f(x)=x^2$ e ottenere una successione di funzioni semplici che converge a f. A questo punti faccio l'integrale di Lebesgue di una di queste funz. e poi ne faccio il limite per $n \rightarrow\ infty$. Se si può quale procedimento devo seguire?
Conoscendo la funzione che approssima l'identità:
$$ d(x)=\sum_{k=1}^{n2^n} \frac{k-1}{2^n} I_{\left[\frac{k-1}{2^n},\frac{k}{2^n}\right)}(x)+nI_{[n,\infty]}(x) $$
posso comporla con una qualsiasi funzione $f$, per esempio $f(x)=x^2$ e ottenere una successione di funzioni semplici che converge a f. A questo punti faccio l'integrale di Lebesgue di una di queste funz. e poi ne faccio il limite per $n \rightarrow\ infty$. Se si può quale procedimento devo seguire?
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