Calcolare $\int_{(0,\pi)} |cos(2kx)|$

[lucia88]

Perdonate l'ignoranza,
ma non riesco a calcolare il seguente integrale:

$\int_{(0,\pi)} |cos(2kx)|$

io praticamente ho usato il fatto che il coseno è positivo su $(0,\frac{\pi}{2})$ e negativo su $(\frac{\pi}{2},\pi)$ e spezzato l'integrale (in modo da togliere il modulo):

$\int_{(0,\pi)} |cos(2kx)|=\frac{\int_{(0,\frac{\pi}{2})} 2k cos(2kx) -\int_{(\frac{\pi}{2},\pi)} 2k cos(2kx)}{2k}=0$

In realtà il risultato corretto è 2 . Dove sbaglio?

[Rigel1]

Assumendo che \(k\) sia intero positivo, facendo il cambio di variabile \(y = 2k x\) e sfruttando la periodicità del coseno hai che
\[
\int_0^{\pi} |\cos (2k x)|\, dx = \frac{1}{2k}\int_0^{2k\pi} |\cos(y)|\, dy = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} |\cos(y)|\, dy
=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos (y) \, dy = 2\,.
\]

Edit: corretto un coefficiente.

[lucia88]

Probabilmente è una cosa stupida ma non ho capito questo passaggio:
\(\displaystyle \int_0^{2k\pi} |\cos(y)|\, dy = 2k \int_0^{2\pi} |\cos(y)|\, dy \)
cioè ,perchè il fatto che sia $2\pi$ -periodico il coseno implica questa cosa?
Io ad esempio conosco il teorema che dimostra che se una funzione f(x) è T-periodica , allora: $\int_a^{a+T} fdx =\int_0 ^T fdx$

[Rigel1]

"Lucia":Probabilmente è una cosa stupida ma non ho capito questo passaggio:
\(\displaystyle \int_0^{2k\pi} |\cos(y)|\, dy = \textbf{k} \int_0^{2\pi} |\cos(y)|\, dy \)
cioè ,perchè il fatto che sia $2\pi$ -periodico il coseno implica questa cosa?
Io ad esempio conosco il teorema che dimostra che se una funzione f(x) è T-periodica , allora: $\int_a^{a+T} fdx =\int_0 ^T fdx$

Facciamo il caso \(k=2\):
\[
\int_0^{4\pi} |\cos(y)|\, dy = \int_0^{2\pi} |\cos(y)|\, dy + \int_{2\pi}^{4\pi} |\cos(y)|\, dy
= 2 \int_0^{2\pi} |\cos(y)|\, dy
\]
dal momento che, per la proprietà da te riportata,
\[
\int_{2\pi}^{4\pi} |\cos(y)|\, dy = \int_0^{2\pi} |\cos(y)|\, dy\,.
\]

P.S.: nel mio precedente messaggio c'era un coefficiente \(2\) di troppo.