Calcolare immagine attraverso funzione
Calcolare l'immagine dell'insieme [1,4] attraverso la funzione f(x)= log (|x-2|+1).
Potete aiutarmi a capire come si fa? Ho la soluzione ma non mi torna!
Potete aiutarmi a capire come si fa? Ho la soluzione ma non mi torna!
Risposte
Ciao Marty. Per favore ridimensiona l'avatar sul tuo computer con qualche programma di grafica, in modo da rendere il file più piccolo di 10 kB (vedi regolamento §2.3). Così è troppo grande e rallenta il caricamento della pagina. Inoltre il ridimensionamento automatico a volte si inceppa e il tuo avatar viene visualizzato a dimensione piena occupando più di mezza schermata. Grazie.
Fatto... scusa ma non avevo letto!
Per venire al tuo esercizio, questi problemi si possono risolvere applicando gli strumenti soliti dello "studio di funzione". Hai provato a disegnare un grafico di $f$? Ti aiuterebbe molto.
Nota inoltre che $f$ è continua ovunque e in particolare è continua in $[1, 4]$ che è compatto; allora per il teorema di Weierstrass essa assume massimo e minimo e per il teorema dei valori intermedi essa assume ogni valore compreso tra il massimo e il minimo. Il problema si riduce quindi a trovare questo massimo e questo minimo; io però preferireri tracciare comunque uno schizzo di grafico per toccare con mano quanto detto in astratto (ed evitare di fare errori).
Nota inoltre che $f$ è continua ovunque e in particolare è continua in $[1, 4]$ che è compatto; allora per il teorema di Weierstrass essa assume massimo e minimo e per il teorema dei valori intermedi essa assume ogni valore compreso tra il massimo e il minimo. Il problema si riduce quindi a trovare questo massimo e questo minimo; io però preferireri tracciare comunque uno schizzo di grafico per toccare con mano quanto detto in astratto (ed evitare di fare errori).
"*Marty*":
Calcolare l'immagine dell'insieme [1,4] attraverso la funzione f(x)= log (|x-2|+1).
Potete aiutarmi a capire come si fa? Ho la soluzione ma non mi torna!
vuol dire che hai svolto l'esercizio ed hai ottenuto un risultato diverso dal libro?
hai distinto i due intervalli [1,2] e [2,4] ? se non sbaglio il risultato dovrebbe essere [0, log(3)]. tu che cosa hai ottenuto?
La tua funzione è continua e quindi nell'intervallo [1,4], come ti ha già detto Dissonance assume un massimo e un minimo e tutti i valori fra essi compresi.
Dobbiamo quindi determinare massimo e minimo.
Scrivo $f(x)=log(|x-2|+1)$ come:
$f(x)=\{(log(x-2+1)=log(x-1) \ \ \ \ se \ x>=2),(log(2-x+1)=log(3-x) \ \ \ \ se \ x<2):}$
Perciò la derivata è:
$f^{\prime}(x)=\{( \frac{1}{x-1} \ \ \ \ se \ x>2),(\frac{-1}{3-x}=\frac{1}{x-3} \ \ \ \ se \ x<2):}$
Quindi la derivata è più grande di 0 in [2,4] e più piccolo di 0 in [1,2].
Quindi la funzione è crescente in [2,4] e decrescente in [1,2].
Perciò la funzione assume certamente minimo in 2 e assume massimo in 1 o in 4.
Ora $f(2)=log(2-2+1)=log 1=0$ e questo è il minimo.
$f(1)=log(3-1)=log 2$
$f(4)=log(4-2+1)=log 3$
e quindi il massimo è log 3.
Perciò l'immagine di [1,4] tramite la tua f(x) è [0,log 3]
Dobbiamo quindi determinare massimo e minimo.
Scrivo $f(x)=log(|x-2|+1)$ come:
$f(x)=\{(log(x-2+1)=log(x-1) \ \ \ \ se \ x>=2),(log(2-x+1)=log(3-x) \ \ \ \ se \ x<2):}$
Perciò la derivata è:
$f^{\prime}(x)=\{( \frac{1}{x-1} \ \ \ \ se \ x>2),(\frac{-1}{3-x}=\frac{1}{x-3} \ \ \ \ se \ x<2):}$
Quindi la derivata è più grande di 0 in [2,4] e più piccolo di 0 in [1,2].
Quindi la funzione è crescente in [2,4] e decrescente in [1,2].
Perciò la funzione assume certamente minimo in 2 e assume massimo in 1 o in 4.
Ora $f(2)=log(2-2+1)=log 1=0$ e questo è il minimo.
$f(1)=log(3-1)=log 2$
$f(4)=log(4-2+1)=log 3$
e quindi il massimo è log 3.
Perciò l'immagine di [1,4] tramite la tua f(x) è [0,log 3]
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