Calcolare il volume fra due superfici

[Polf]

Calcolare il volume del compatto $ A = {(x,y,z) in RR^3 : 2x^2+3y^2+2<=z<=2+2x+3y } $
So che le due superfici sono un paraboloide ed un piano ma non so come ricavare gli estremi di integrazione o se sia necessaria un'eventuale parametrizzazione...

Qualcuno riesce a darmi una mano?

Grazie in anticipo

[21zuclo]

ok quindi la variabile $z$ ce l'hai già fissata

quindi il tuo integrale da calcolare è $ \int\int_(A')dxdy(\int_A dz) $

ove l'insieme A è quello che hai scritto già lì.. l'insieme $A'$

è invece l'insieme in cui hai il piano $z=0$

e ti si riconduce ad avere $ A'=\{(x,y)^T\in RR^2| 2x^2+3y^2+2\leq 2+2x+3y\} $

che cos'è? $ 2x^2+3y^2-2x+3y\leq 0\to 2x^2-2x+3y^2+3y\leq0 $

usando il completamento del quadrato per in termini in $x$ e in $y$

ti ritrovi un'ellisse $ 2(x-1/2)^2+3(y+1/2)^2=5/4 $

se lo vuoi scrivere nella sua forma canonica

$ (2(x-1/2)^2)/(5/4)+(3(y+1/2)^2)/(5/4)=1\to $

$\to ((x-1/2)^2)/((\sqrt(5/8))^2)+((y+1/2)^2)/((\sqrt(5/12))^2)=1$

lo so è un po' brutto..

[Polf]

Ecco cosa mi mancava il completamento dei quadrati! Grazie mille per l'aiuto a questo punto parametrizzo l'ellisse e ci sono
p.s penso tu abbia fatto un errore poiché il 3y se lo porti di qua con il 2x cambiano entrambi segno perciò sarà $(x-1/2)$ e $(y-1/2)$

[21zuclo]

"Polf":Ecco cosa mi mancava il completamento dei quadrati! Grazie mille per l'aiuto a questo punto parametrizzo l'ellisse e ci sono
p.s penso tu abbia fatto un errore poiché il 3y se lo porti di qua con il 2x cambiano entrambi segno perciò sarà $(x-1/2)$ e $(y-1/2)$

ah già si scusami, in effetti hai ragione.. un errorino di segno.. pardon!