Calcolare il volume di un cono
Buongiorno ragazzi,
mi viene chiesto di svolgere il seguente esercizio:
Calcolare il volume del cono $C = {(x,y,z) : 0 \le z \le 1 - sqrt(x^2+y^2), x^2+y^2 \le 1}$.
Ho bisogno di capire se la mia risoluzione è corretta:
Ho considerato come dominio di variazione delle variabili $x$ e $y$ il cerchio unitario centrato nell'origine $(D = x^2 + y^2 \le 1)$ e come funzione integranda l'equazione del piano $f(x,y) = 1 - sqrt(x^2+y^2)$. In tal modo calcolo:
$vol(C) = \int\int_{D} 1 - sqrt(x^2+y^2)\ dxdy = ... = \frac{\pi}{3}$
P.S. Il calcolo dell'integrale doppio lo ho svolto, per semplicità, utilizzando le coordinate polari centrate nell'origine. Non mi interessa di sapere se il risultato dell'integrale doppio è corretto o meno ma mi interessa capire se il procedimento generale di risoluzione è corretto.
Grazie in anticipo!
mi viene chiesto di svolgere il seguente esercizio:
Calcolare il volume del cono $C = {(x,y,z) : 0 \le z \le 1 - sqrt(x^2+y^2), x^2+y^2 \le 1}$.
Ho bisogno di capire se la mia risoluzione è corretta:
Ho considerato come dominio di variazione delle variabili $x$ e $y$ il cerchio unitario centrato nell'origine $(D = x^2 + y^2 \le 1)$ e come funzione integranda l'equazione del piano $f(x,y) = 1 - sqrt(x^2+y^2)$. In tal modo calcolo:
$vol(C) = \int\int_{D} 1 - sqrt(x^2+y^2)\ dxdy = ... = \frac{\pi}{3}$
P.S. Il calcolo dell'integrale doppio lo ho svolto, per semplicità, utilizzando le coordinate polari centrate nell'origine. Non mi interessa di sapere se il risultato dell'integrale doppio è corretto o meno ma mi interessa capire se il procedimento generale di risoluzione è corretto.
Grazie in anticipo!
Risposte
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Scusate, ma per andare a calcolare il volume di quel cono, non basta usare la classica relazione $(A\timesh)/3$ senza scomodare nessun integrale? 
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"sellacollesella":
... però ad analisi 2 spesso capitano dei domini d'integrazione stravaganti, ...
Ok, ma in questo caso particolare, possiamo seguire la strada risolutiva più conveniente, no?
$C = {(r,z,\theta) : 0 \le z \le 1 - r, \ \ r \le 1, \ \ 0 \lt \theta \le 2\pi}$
.
"sellacollesella":
Se viene assegnato l'insieme:
\[
C = \left\{(x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : 0 \le z \le 1-\sqrt{x^2+y^2}\right\}
\] e si chiede di calcolarne la misura, allora per definizione:
\[
||C|| = \iiint\limits_C 1\,\text{d}x\,\text{d}y\,\text{d}z\,.
\] Quindi, notando che \(C\) è un insieme z-semplice, è possibile cominciare ad integrare rispetto a \(z\):
\[
||C|| = \iint\limits_D \left(\int_0^{1-\sqrt{x^2+y^2}}1\,\text{d}z\right)\text{d}x\,\text{d}y = \iint\limits_D \left(1-\sqrt{x^2+y^2}\right)\text{d}x\,\text{d}y
\] dove \(D\) è l'insieme:
\[
D = \left\{(x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le 1-\sqrt{x^2+y^2}\right\} = \left\{(x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \le 1\right\}.
\] Infine, passando in coordinate polari nel piano, si ha:
\[
||C|| = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^1 \left(1-\rho\right)\rho\,\text{d}\rho = \frac{\pi}{3}\,.
\] Per cui, sì, quello che hai fatto è corretto, ma non ero certo se avessi chiara la procedura generale.
Grazie mille, ciò conferma la correttezza del mio ragionamento, esplicitato formalmente da te.
"RenzoDF":
Scusate, ma per andare a calcolare il volume di quel cono, non basta usare la classica relazione
Grazie mille! Scoprire soluzioni alternativi e più efficienti ad un problema è sempre stimolante, tuttavia per rispondere alla tua domanda, l'esercizio preveda l'utilizzo degli integrali doppi/tripli (per esercizio e per verificare il corretto utilizzo degli stessi).
Il calcolo di questo integrale è esattamente la dimostrazione di quella formula citata da Renzo
"dissonance":
Il calcolo di questo integrale è esattamente la dimostrazione di quella formula citata da Renzo
Direi che per la "dimostrazione" di quella formula dobbiamo ringraziare Democrito, e Eudosso.
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