Calcolare il volume del solido di rotazione
Ragà l'esercizio è il seguente:
Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all'asse delle $y$ del dominio piano delimitato dall'asse $y$, dalle retta $y=3/2$ e dalla cura di equazione polare $rho=tantheta$ con $theta in [0,pi/2)$
allora io ho agito in questo modo:
tenendo presente la formula del calcolo del volume rispetto all'asse $y$ di una curva $y=f(x)$ e cioè:
$2pi int_a^b xf(x) dx$ dove nel mio caso $a=0$ e $b= arctan (3/2)$
Ho pensato che il dominio in questione sia formato da:
$y=(3/2)$ ed ho trasformato l'equazione polare in cartesiana, semplicemente sostituendo ad $rho$ la $y$ ed a $theta$ la $x$ in modo da poterli intersecare e ricavare il punto b! i calcoli sono questi:
$rho=tantheta$ con $theta in [0.pi/2) => y=tanx$ con $x$ in $[0,pi/2)$
${ ( y=3/2 ),( y=tanx ):} => { ( y=3/2 ),( x=arctan (3/2) ):}$
quindi il volume è dato da:
$2pi int_0^arctan(3/2) xtanx dx$
Oppure ho sbagliato qualcosa?
P.s penso di aver sbagliato perchè poi risulta abbastanza articolato risolvere questo integrale, e risolvendolo con il calcolatore non si trova nemmeno con il risultato proposto dalla traccia: $(17/48)$
Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all'asse delle $y$ del dominio piano delimitato dall'asse $y$, dalle retta $y=3/2$ e dalla cura di equazione polare $rho=tantheta$ con $theta in [0,pi/2)$
allora io ho agito in questo modo:
tenendo presente la formula del calcolo del volume rispetto all'asse $y$ di una curva $y=f(x)$ e cioè:
$2pi int_a^b xf(x) dx$ dove nel mio caso $a=0$ e $b= arctan (3/2)$
Ho pensato che il dominio in questione sia formato da:
$y=(3/2)$ ed ho trasformato l'equazione polare in cartesiana, semplicemente sostituendo ad $rho$ la $y$ ed a $theta$ la $x$ in modo da poterli intersecare e ricavare il punto b! i calcoli sono questi:
$rho=tantheta$ con $theta in [0.pi/2) => y=tanx$ con $x$ in $[0,pi/2)$
${ ( y=3/2 ),( y=tanx ):} => { ( y=3/2 ),( x=arctan (3/2) ):}$
quindi il volume è dato da:
$2pi int_0^arctan(3/2) xtanx dx$
Oppure ho sbagliato qualcosa?P.s penso di aver sbagliato perchè poi risulta abbastanza articolato risolvere questo integrale, e risolvendolo con il calcolatore non si trova nemmeno con il risultato proposto dalla traccia: $(17/48)$
Risposte
"Genny_it":
ho trasformato l'equazione polare in cartesiana, semplicemente sostituendo ad $rho$ la $y$ ed a $theta$ la $x$
Mh mi sa di no, ci sono delle specifiche relazioni: \( \begin{cases} \rho = \sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \arctan{\frac{y}{x}} \end{cases} \)
E come faccio ad esplicitare poi la $y$? quando vado a sostituire nell'equazione, diventa:
$sqrt(x^2+y^2)=y/x => x^2+y^2=y^2/x^2 $
dovrei arrivare a scriverla come $y=f(x)$, ma non ci riesco
comunque grazie dell'aiuto
$sqrt(x^2+y^2)=y/x => x^2+y^2=y^2/x^2 $
dovrei arrivare a scriverla come $y=f(x)$, ma non ci riesco
comunque grazie dell'aiuto
Be' prima di tutto dalla condizione iniziale:
$00$ il che vuol dire che devono essere concordi.
Detto ciò, possiamo scrivere l'equazione come $y=+- x^2/sqrt(1-x^2)$ e, tracciando la retta $y=3/2$, otteniamo che la curva che ci interessa è solo $y=x^2/sqrt(1-x^2)$.
A questo punto dobbiamo determinare gli estremi di integrazione, che saranno $0$ e il punto di intersezione tra la curva e la retta. L'area che ci interessa si può calcolare dunque come $int (3/2-x^2/sqrt(1-x^2))dx$ (con estremi che lascio a te da calcolare ) e da ciò si può calcolare il volume... ti confesso però che data la presenza del $2pi$ nella formula mi viene un risultato diverso che coinciderebbe con quello della traccia se non ci fosse 
Da questo punto di vista aspetterei qualcuno con più esperienza di me per vedere se non ho detto grandi fesserie. 
$0
Detto ciò, possiamo scrivere l'equazione come $y=+- x^2/sqrt(1-x^2)$ e, tracciando la retta $y=3/2$, otteniamo che la curva che ci interessa è solo $y=x^2/sqrt(1-x^2)$.
A questo punto dobbiamo determinare gli estremi di integrazione, che saranno $0$ e il punto di intersezione tra la curva e la retta. L'area che ci interessa si può calcolare dunque come $int (3/2-x^2/sqrt(1-x^2))dx$ (con estremi che lascio a te da calcolare
) e da ciò si può calcolare il volume... ti confesso però che data la presenza del $2pi$ nella formula mi viene un risultato diverso che coinciderebbe con quello della traccia se non ci fosse Da questo punto di vista aspetterei qualcuno con più esperienza di me per vedere se non ho detto grandi fesserie.
"andar9896":
Detto ciò, possiamo scrivere l'equazione come $y=+- x^2/sqrt(1-x^2)$
Scusami, ma non riesco proprio a capire come giungi a questa soluzione, dall'equivalenza che ho scritto io hai ricavato la y?
p.s grazie ancora
Certo:
$sqrt(x^2+y^2) = y/x rarr x^2+y^2 = y^2/x^2$
$x^4+x^2y^2=y^2$
$x^4 = y^2 - x^2y^2 = y^2(1-x^2)$
$y^2 = x^4/(1-x^2)$
$sqrt(x^2+y^2) = y/x rarr x^2+y^2 = y^2/x^2$
$x^4+x^2y^2=y^2$
$x^4 = y^2 - x^2y^2 = y^2(1-x^2)$
$y^2 = x^4/(1-x^2)$
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