Calcolare il Volume del compatto A
A={(x,y,z)∈$RR$$^3$ : 6$x^2$+2$y^2$+10$z^2$≤27, 2$y^2$+10$z^2$≤1-x} non riesco principalmente a trovare i limiti di integrazione dopo la parametrizzazione. Grazie dell'aiuto
Risposte
Quale parametrizzazione hai usato?
P.S.: elimina "Help" dal titolo.
P.S.: elimina "Help" dal titolo.
coordinate polari, precisamente le sferiche con x=(1/√6) cos φ; y=(1/√2)sinφcosθ; z=(1/√10)sinφsinθ.
Io userei quelle cilindriche:
$x=x,\ y=1/{\sqrt{2}}\rho\cos t,\ z=1/{\sqrt{10}}\rho\sin t$
$x=x,\ y=1/{\sqrt{2}}\rho\cos t,\ z=1/{\sqrt{10}}\rho\sin t$
Ho provato anche con quelle, ma non riesco ad arrivare alla soluzione.
Il dominio viene riscritto come
$6x^2+\rho^2\le 27,\qquad \rho^2\le 1-x$ (con $t\in[0,2\pi]$).
Determinare come variano $\rho$ e $x$ ora è semplice: basta disegnare nel piano $\rho O x$ le due curve (una ellisse e una parabola) e determinare quale sia il dominio. Prova.
$6x^2+\rho^2\le 27,\qquad \rho^2\le 1-x$ (con $t\in[0,2\pi]$).
Determinare come variano $\rho$ e $x$ ora è semplice: basta disegnare nel piano $\rho O x$ le due curve (una ellisse e una parabola) e determinare quale sia il dominio. Prova.
$\rho$≤ √($27$-$6x^2$) , $x$≤$1$−$\rho^2$ (con t∈[0,2π]).
Non riesco proprio a capire, sono incartato. Il raggio della sfera non dovrebbe essere √27?
Non riesco proprio a capire, sono incartato. Il raggio della sfera non dovrebbe essere √27?
Ma perché invece di fare ragionamenti astrusi non fai quello che ti ho detto? Disegna le due curve e cerca di capire come è fatto il dominio che ne viene fuori. Quello ti permette di capire le limitazioni per $x$ e $\rho$ (e ricorda che $\rho\ge 0$ per definizione).
Non riesco a capire, mi sto scervellando! c'è x che varia da 1 a - non so cosa e ro compreso tra -√(1-x) e +√(1-x).
Sai disegnare la parabola $x=1-\rho^2$ e l'ellisse ${x^2}/{9/2}+{\rho^2}/{27}=1$? (Prendi $x$ come asse verticale e $\rho$ come asse orizzontale). Se lo fai, ti accorgerai che $x,\ \rho$ si trovano all'interno di una figura che è delimitata dall'ellisse e dalla parabola (si trova dentro l'ellisse e dentro la parabola). Per cui al fine di determinare come variano queste due coordinate, basterà determinare le intersezioni tra le due curve e ragionare poi su come le variabili stesse siano limitate.
Questo l'avevo capito, il problema stava proprio nel determinare le intersezioni!
forse ho trovato: x=-2 ρ=-√3; x=-2 ρ=√3
E' giusto?
E' giusto?
non riesco comunque ha determinare il volume!
Allora, vediamo un po' cosa accade: se hai fatto il disegno (mettendo $\rho$ come asse delle ascisse e $x$ come asse delle ordinate), avrai visto che l'ellisse contiene il vertice della parabola (il punto $V(0,1)$) e che il dominio da considerare si trova a destra dell'asse verticale ($x$) all'interno dell'ellisse e sotto la parabola (che ha concavità rivolta in basso. L'unica cosa che devi trovare è il punto di intersezione (l'unico ammissibile) tra le due curve. Per determinarlo, sostituendo $\rho^2=1-x$ in $6x^2+\rho^2=27$ si ottiene l'equazione $6x^2-x-26=0$ che ha le due soluzioni $x=-2,\ x={13}/6$. E' facile vedere che la seconda non è accettabile, mentre la prima conduce a $\rho=\sqrt{3}$ (ricorda che $\rho\ge 0$). Ora, dal momento che il dominio è limitato dal di sotto dall'arco negativo dell'ellisse e dal di sopra dalla parabola è facile vedere che le limitazioni sono le seguenti:
$\rho\in[0,\sqrt{3}],\qquad -\sqrt{{27-\rho^2}/{6}}\le x\le 1-\rho^2$.
A questo punto si tratta solo di conti: dal cambiamento di coordinate scritto otteniamo lo Jacobiano
$J=|(1,0,0),(0,{\cos t}/\sqrt{2},-{\rho\sin t}/\sqrt{2}),(0,{\sin t}/\sqrt{10},{\rho\cos t}/\sqrt{10})|=\rho/{2\sqrt{5}}$
e quindi l'integrale
$A=\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{3}}\int_{-\sqrt{{27-\rho^2}/6}}^{1-\rho^2} \rho/{2\sqrt{5}}\ dx\ d\rho\ dt$
Questo, calcoli a parte, non dovrebbe darti problemi.
$\rho\in[0,\sqrt{3}],\qquad -\sqrt{{27-\rho^2}/{6}}\le x\le 1-\rho^2$.
A questo punto si tratta solo di conti: dal cambiamento di coordinate scritto otteniamo lo Jacobiano
$J=|(1,0,0),(0,{\cos t}/\sqrt{2},-{\rho\sin t}/\sqrt{2}),(0,{\sin t}/\sqrt{10},{\rho\cos t}/\sqrt{10})|=\rho/{2\sqrt{5}}$
e quindi l'integrale
$A=\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{3}}\int_{-\sqrt{{27-\rho^2}/6}}^{1-\rho^2} \rho/{2\sqrt{5}}\ dx\ d\rho\ dt$
Questo, calcoli a parte, non dovrebbe darti problemi.
Grazie, mi hai fatto ragionare bene e sei stato molto esaustivo. Mea culpa.
Figurati. Se hai domande o altro, fammi sapere. Considera anche una cosa: è possibile calcolare l'integrale in modo più agevole rispetto a quello che ho scritto se normalizzi il dominio rispetto a $x$ piuttosto che a $\rho$. Per fare ciò, tuttavia, devi spezzare il dominio stesso in due parti. Per ora prova a fare i calcoli come ti ho detto ed eventualmente vedi se riesci a ragionare anche nell'altro modo, trovando prima di tutto le limitazioni (che, in quel caso, saranno finite per la $x$ e dipenderanno da $x$ per la $\rho$).
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