Calcolare il valore di una serie
Ciao!
Ho la seguente serie $ sum_(k = 0)^(k = oo ) (2k+1)/((k^2 +3)(k^2 +2k +4)) $
Devo dimostrare che converge e devo calcolare il valore della somma.
Ho dimostrato che converge ma proprio non riesco a calcolarne il valore...potreste aiutarmi?
Per la convergenza ho usato una serie di maggiorazioni e sono arrivata a dire che è minore della serie aromnica generalizzata con esp 2 e che quindi converge....può andare?
Grazie in anticipo!
Ho la seguente serie $ sum_(k = 0)^(k = oo ) (2k+1)/((k^2 +3)(k^2 +2k +4)) $
Devo dimostrare che converge e devo calcolare il valore della somma.
Ho dimostrato che converge ma proprio non riesco a calcolarne il valore...potreste aiutarmi?
Per la convergenza ho usato una serie di maggiorazioni e sono arrivata a dire che è minore della serie aromnica generalizzata con esp 2 e che quindi converge....può andare?
Grazie in anticipo!
Risposte
Che la serie converga è fuori discussione, giacché i suoi addendi sono asintoticamente equivalenti a quelli della serie [tex]\sum \frac{1}{n^3}[/tex] che converge.
Per quanto riguarda la somma, il discorso è un po' più delicato.
E, sinceramente, non credo che la somma di quella serie sia esprimibile in termini di funzioni elementari.
*** EDIT: No, aspetta. Avevo letto male il testo!
Allora il denominatore degli addendi si riscrive [tex]$(k^2+3)\ [(k+1)^2+3]$[/tex], quindi è molto probabile che la serie sia telescopica; proviamo a scomporre in maniera adeguata gli addendi: abbiamo:
[tex]$\frac{2k+1}{(k^2+3)\ (k^2+2k+4)} = \frac{(k^2+2k+4)-(k^2+3)}{(k^2+3)\ (k^2+2k+4)}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{k^2+3}-\frac{1}{k^2+2k+4}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{k^2+3}-\frac{1}{(k+1)^2+3}$[/tex],
quindi per fissato [tex]$n$[/tex] hai:
[tex]$\sum_{k=0}^n \frac{2k+1}{(k^2+3)\ (k^2+2k+4)}= \sum_{k=0}^n \frac{1}{k^2+3}-\frac{1}{(k+1)^2+3}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\ldots -\frac{1}{n^2+3}+\frac{1}{n^2+3}-\frac{1}{(n+1)^2+3}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{3}-\frac{1}{(n+1)^2+3}$[/tex],
sicché hai un'espressione esplicita per la successione delle somme parziali e l'esercizio si risolve passando al limite su [tex]$n$[/tex].
Per quanto riguarda la somma, il discorso è un po' più delicato.
E, sinceramente, non credo che la somma di quella serie sia esprimibile in termini di funzioni elementari.
*** EDIT: No, aspetta. Avevo letto male il testo!
Allora il denominatore degli addendi si riscrive [tex]$(k^2+3)\ [(k+1)^2+3]$[/tex], quindi è molto probabile che la serie sia telescopica; proviamo a scomporre in maniera adeguata gli addendi: abbiamo:
[tex]$\frac{2k+1}{(k^2+3)\ (k^2+2k+4)} = \frac{(k^2+2k+4)-(k^2+3)}{(k^2+3)\ (k^2+2k+4)}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{k^2+3}-\frac{1}{k^2+2k+4}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{k^2+3}-\frac{1}{(k+1)^2+3}$[/tex],
quindi per fissato [tex]$n$[/tex] hai:
[tex]$\sum_{k=0}^n \frac{2k+1}{(k^2+3)\ (k^2+2k+4)}= \sum_{k=0}^n \frac{1}{k^2+3}-\frac{1}{(k+1)^2+3}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\ldots -\frac{1}{n^2+3}+\frac{1}{n^2+3}-\frac{1}{(n+1)^2+3}$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{3}-\frac{1}{(n+1)^2+3}$[/tex],
sicché hai un'espressione esplicita per la successione delle somme parziali e l'esercizio si risolve passando al limite su [tex]$n$[/tex].
O mamma avevo provato a scomporla in mille modi ma così proprio non mi era venuto in mente ^^''''
Grazie mille!!!!!!!!!
Grazie mille!!!!!!!!!
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