Calcolare il valore atteso

[ale88]

Ciao a tutti!
Ho un dubbio...se io Z=min(X,1), dove X-exp(1) come faccio a calcolarmi E(Zn) ? ovvero E(Zn)= E (min (X,1)) ??

Grazie in anticipo!

[ciampax]

Mmmmm, no, aspetta, c'è qualcosa che non mi torna. Dunque, cerchiamo di capire bene il testo del problema (che, se lo avessi scritto direttamente così com'è non avrebbe portato a confusione). Non è chiaro come è fatta la variabile aleatoria

[math]X[/math]

, per prima cosa. Detto questo, la variabile aleatoria

[math]Z[/math]

è definita così:

[math]Z=\min(X,1)=\left\{\begin{array}{lcl}
1 & & X\ge 1\\ X & & X

[ale88]

Non ho riportato l'esercizio perchè era troppo lungo, nel senso che il dubbio che ho io è (credo) solo un pezzo dello svolgimento dell'esercizio vero e proprio. Comunque ora ti riporto l'esercizio pari pari :

Sia

[math]Z = min (X,1)[/math]

, dove

[math]X\sim exp(1)[/math]

.
Si consideri una successione di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite

[math]Z_1,Z_2...[/math]

, tali che

[math]Z_1 \sim Z[/math]

.
Posto

[math]X_n = \frac{1}{\sqrt{n}}(Z_n - 1 + \frac{1}{e}+\frac{1}{n^2})[/math]

, si stabilisca se la successione

[math] \frac{X_1+....X_n}{ \sqrt{VarX_1+....VarX_n}}[/math]

con

[math]n\geq1[/math]

converge.


Il mio dubbio veniva quindi dal fatto che prima di tutto dovrei (se non sbaglio) calcolarmi

[math]EX_n = \frac{1}{\sqrt{n}}(E(Z_n) - 1 + \frac{1}{e}+\frac{1}{n^2})[/math]

...quindi quel E(Z_n)

[ciampax]

Allora, ti do un consiglio da docente Universitario rompiscatole quale sono: quando si fa una domanda, a prescindere dal suo livello di complessità, meglio sempre essere precisi, per evitare fraintendimenti e per essere certi che si comprenda cosa chiedi. Prima hai citato, nel primo post, le

[math]Z_n[/math]

ma non avevi scritto cosa fossero, ti pare?

Prima di procedere, voglio un chiarimento su una cosa: sei sicuro che

[math]X\sim\exp(1)[/math]

e non, per esempio,

[math]X\sim\exp(x)[/math]

?

[ale88]

Ha ragione! Mi scuso :( in futuro scriverò tutto l'esercizio così è tutto più chiaro!
Comunque si si sono sicuro che il testo dica proprio

[math]X \sim exp(1)[/math]

[ciampax]

Ok, il mio non voleva essere un rimprovero, ma un vero e proprio consiglio: esplicitare per bene la richiesta è molto più proficuo per te e ti evita, eventualmente, che qualcuno troppo puntiglioso possa "insultarti" gratuitamente (ti assicuro che spesso succede". Veniamo ora al problema.

Dire che

[math]X\sim\exp(1)[/math]

(la variabile aleatoria esponenziale di parametro

[math]\lambda=1[/math]

implica che la sua densità di probabilità sia data dalla funzione

[math]f_X(x)=e^{-x},\qquad f_X:[0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}[/math]

(sono questioni di teoria che dovresti conoscere, per cui non mi dilungo troppo). Dovresti anche sapere che

[math]E(X)=1,\qquad var(X)=1,\qquad F_X(x)=1-e^{-x}[/math]

dove

[math]F_X(x)[/math]

è la funzione di ripartizione. Per la variabile aleatoria

[math]Z[/math]

avremo che essa coincide, su

[math][0,+\infty)[/math]

con la variabile aleatoria

[math][/math] in quanto [math]e^{-x}0[/math]

.

Dal momento che le

[math]Z_n[/math]

sono indipendenti e identicamente distribuite, possiamo affermare che esse si comportano tutte come la variabile

[math]Z[/math]

e quindi come la

[math]X[/math]

e quindi hanno tutte le stesse caratteristiche dette prima. Vediamo allora come sono fatte le

[math]X_n[/math]

: abbiamo, essendo

[math]Z_n\sim Z\sim X[/math]

[math]E(X_n)=E\left(\frac{1}{\sqrt{n}}(Z-1+1/e+1/n^2)\right)=\\
\frac{1}{\sqrt{n}}\left(E(X)-1+1/e+1/n^2\right)=\frac{n^2+e}{e n^2\sqrt{n}}[/math]

[math]var(X_n)=\frac{1}{n}\cdot var(X)=\frac{1}{n}[/math]

Ne segue che

[math]Y_n=\frac{\sum_{j=1}^n X_j}{\sqrt{\sum_{j=1}^n var(X_j)}}=\frac{1}{\sqrt{\sum_{j=1}^n\frac{1}{j}}}\cdot\sum_{j=1}^n\frac{j+e}{e j^2\sqrt{j}}[/math]

Ora, osserva che la sommatoria a denominatore ha come limite la serie armonica, che diverge positivamente, mentre la sommatoria a numeratore si comporta come una serie armonica generalizzata con termine generale

[math]1/n^{3/2}[/math]

e converge: ne segue che quando calcoli

[math]\lim_{n\to+\infty} Y_n[/math]

tale valore è il rapporto tra una costante positiva e

[math]+\infty[/math]

, e quindi

[math]Y_n\rightarrow 0[/math]

è convergente.

[ale88]

La ringrazio davvero tanto! Volevo chiedere un'ultima cosa...ma quindi l'informazione

[math]Z= min (X,1)[/math]

non influisce particolarmente su nulla ?