Calcolare il seguente limite
Salve a tutti, ho il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(1-cos^3x)^2}{x*sinx*arcsinx}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(-(cos^3x-1))^2}{x\frac{sinx}{x}x\frac{arcsinx}{x}x}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(-(cosx-1)(cos^2x+cos x+1))^2}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\frac{-(cosx-1)(cos^2x+cos x+1)}{x^2}x^2)^2}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\frac{-(cosx-1)}{x^2}x^2(cos^2x+cos x+1))^2}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\frac{-(cosx-1)}{x^2})^2(x^2(cos^2x+cos x+1))^2}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\frac{-(cosx-1)}{x^2})^2(cos^2x+cos x+1)^2x^4}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\frac{-(cosx-1)}{x^2})^2(cos^2x+cos x+1)^2x}{\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}=0 \)
Volevo sapere se sto sbagliando qualcosa.
P.s.
C'era un altro modo per poter risolvere il limite?
Quel \(\displaystyle 1-cos^3 x \), mi dava un pò di problemi.
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(1-cos^3x)^2}{x*sinx*arcsinx}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(-(cos^3x-1))^2}{x\frac{sinx}{x}x\frac{arcsinx}{x}x}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(-(cosx-1)(cos^2x+cos x+1))^2}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\frac{-(cosx-1)(cos^2x+cos x+1)}{x^2}x^2)^2}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\frac{-(cosx-1)}{x^2}x^2(cos^2x+cos x+1))^2}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\frac{-(cosx-1)}{x^2})^2(x^2(cos^2x+cos x+1))^2}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\frac{-(cosx-1)}{x^2})^2(cos^2x+cos x+1)^2x^4}{x^3\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}= \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\frac{-(cosx-1)}{x^2})^2(cos^2x+cos x+1)^2x}{\frac{sinx}{x}\frac{arcsinx}{x}}=0 \)
Volevo sapere se sto sbagliando qualcosa.
P.s.
C'era un altro modo per poter risolvere il limite?
Quel \(\displaystyle 1-cos^3 x \), mi dava un pò di problemi.
Risposte
Prima di controllare tutti i conti: hai affrontato gli sviluppi di Taylor Mc-Laurin? Se sì, è sufficiente usare questi perché sono tutte fnuzioni che hanno sviluppi immediati 
Non ho affrontato gli sviluppi di Taylor Mc-Laurin. 
Questi limiti sono generalmente da risolvere tramite gli sviluppi di Taylor, mi sembra strano che ti sono stati assegnati dei limiti così senza aver prima fatto Taylor.
Domanda: ma ti sono stati assegnati o stai provando a farli tu così per esercizio?
Domanda: ma ti sono stati assegnati o stai provando a farli tu così per esercizio?
Ho visto gli sviluppi di Taylor:
\(\displaystyle cos x = 1-\frac{x^2}{2}+O_1(x^3) \)
\(\displaystyle cos^3 x = 1-\frac{3}{2}x^2+O_1(x^3) \)
\(\displaystyle sin x = x-\frac{x^3}{6}+O_2(x^3) \)
\(\displaystyle arcsin x = x+\frac{x^3}{6}+O_3(x^3) \)
Qui sorge un problema, non so bene usando gli sviluppi di Taylor a che grado fermarmi.
\(\displaystyle cos x = 1-\frac{x^2}{2}+O_1(x^3) \)
\(\displaystyle cos^3 x = 1-\frac{3}{2}x^2+O_1(x^3) \)
\(\displaystyle sin x = x-\frac{x^3}{6}+O_2(x^3) \)
\(\displaystyle arcsin x = x+\frac{x^3}{6}+O_3(x^3) \)
Qui sorge un problema, non so bene usando gli sviluppi di Taylor a che grado fermarmi.
E' un problema iniziale per tutti.. per quello ci vuole esercitazione, con il tempo poi riesci a capire qual'è il grado giusto per risolvere il limite..
Posso chiederti come l'avresti risolta tu?
Ciao angelok90,
In realtà per risolvere il limite che hai proposto non sono necessari gli sviluppi in serie: bastano e avanzano i limiti notevoli... Il risultato che hai ottenuto è corretto. Personalmente l'avrei risolto in maniera magari un po' meno ridondante, ma simile, in particolare evitando di raccogliere quel $-$ a numeratore che non serve a niente: $1 - \cos^3 x = 1^3 - \cos^3 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x + \cos^2 x)$. D'altronde il limite notevole di cui poi farai uso è il seguente:
$lim_{x \to 0} frac{1 - \cos x}{x^2} = frac{1}{2}$
insieme agli altri due $lim_{x \to 0} frac{\sin x}{x} = 1$ e $lim_{x \to 0} frac{arcsin x}{x} = 1$.
In realtà per risolvere il limite che hai proposto non sono necessari gli sviluppi in serie: bastano e avanzano i limiti notevoli... Il risultato che hai ottenuto è corretto. Personalmente l'avrei risolto in maniera magari un po' meno ridondante, ma simile, in particolare evitando di raccogliere quel $-$ a numeratore che non serve a niente: $1 - \cos^3 x = 1^3 - \cos^3 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x + \cos^2 x)$. D'altronde il limite notevole di cui poi farai uso è il seguente:
$lim_{x \to 0} frac{1 - \cos x}{x^2} = frac{1}{2}$
insieme agli altri due $lim_{x \to 0} frac{\sin x}{x} = 1$ e $lim_{x \to 0} frac{arcsin x}{x} = 1$.
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