Calcolare il seguente flusso con il metodo della divergenza
Dato $F(x,y,z)= (x^2y, xy^2,xyz)$
con $T=[ (x,y,z) in R^3 : x^2+y^2+z^2<=4 , x>=0 , y>=0]$.
Procedo in questo modo: calcolo la divergenza, che sarà: $2xy +2xy+xy = 5xy$.
$5 int int int_(D)^() xy dx dy dz $ dove $D= [x^2+y^2 <=4]$.
Passo in coordinate sferiche nello spazio:
$ 5 int_(0)^(2 ) rho^4 drho int_(0)^(pi/2 ) cosvartheta senvartheta dtheta int_(-pi/2)^(pi/2 ) (cosvarphi )^2 dvarphi$.
Che sarà uguale a $ 5 * 32/5 * 1/2 * pi/4 = 4pi$.
Il risultato non è corretto in quanto la prof ha detto che si deve trovare $-5pi$. Dove ho sbagliato?
con $T=[ (x,y,z) in R^3 : x^2+y^2+z^2<=4 , x>=0 , y>=0]$.
Procedo in questo modo: calcolo la divergenza, che sarà: $2xy +2xy+xy = 5xy$.
$5 int int int_(D)^() xy dx dy dz $ dove $D= [x^2+y^2 <=4]$.
Passo in coordinate sferiche nello spazio:
$ 5 int_(0)^(2 ) rho^4 drho int_(0)^(pi/2 ) cosvartheta senvartheta dtheta int_(-pi/2)^(pi/2 ) (cosvarphi )^2 dvarphi$.
Che sarà uguale a $ 5 * 32/5 * 1/2 * pi/4 = 4pi$.
Il risultato non è corretto in quanto la prof ha detto che si deve trovare $-5pi$. Dove ho sbagliato?
Risposte
Intanto mi sa che c'è qualche problema con il domino. Devi integrare su un ottante di sfera, e quindi, in coordinate sferiche \(\rho\ge 0,\ \phi\in (-\pi, \pi],\ \theta\in [0, \pi]\) devi avere \[\left\{0\le \rho \le 2,\ 0\le\phi\le \frac{\pi}{2},\ 0\le\theta\le\frac\pi 2\right\}\].
P.S. Mi sa che usiamo convenzioni diverse per le coordinate sferiche. Ma non cambia molto. Il procedimento è corretto fino a quando non passi in coordinate sferiche. Lì c'è qualche errore.
P.S. Mi sa che usiamo convenzioni diverse per le coordinate sferiche. Ma non cambia molto. Il procedimento è corretto fino a quando non passi in coordinate sferiche. Lì c'è qualche errore.
Grazie mille
Il risultato peró risulta sempre lo stesso
Secondo me c'è più di un errore. Se tu usi queste coordinate sferiche:
\[
\begin{cases}
x=r\sin \phi \cos \theta \\
y=r\sin \phi \sin \theta \\
z=r\cos \theta
\end{cases}\]
allora la formula corretta del cambiamento di variabile è
\[
xy\, dxdydz=r^4\sin^3\phi \cos\theta\sin\theta\, dr d\theta d\phi,
\]
direi. (Infatti \(dxdydz=r^2\sin\phi\, dr d\theta d\phi\)).
\[
\begin{cases}
x=r\sin \phi \cos \theta \\
y=r\sin \phi \sin \theta \\
z=r\cos \theta
\end{cases}\]
allora la formula corretta del cambiamento di variabile è
\[
xy\, dxdydz=r^4\sin^3\phi \cos\theta\sin\theta\, dr d\theta d\phi,
\]
direi. (Infatti \(dxdydz=r^2\sin\phi\, dr d\theta d\phi\)).
Fatto sta che anche in questo caso, facendo i calcoli, non faccia $-5 pi$. Domani mattina posto le "mie" coordinate sferiche ( anche se comunque non mi trovo neanche io).
Non viene perché probabilmente la tua prof quando ha fatto i conti ha messo $r^3$ al posto di $r^4$.
No, in pratica lei l'ha risolto con la definizione ed usciva $-5pi$ e poi con il metodo del rotore ed usciva lo stesso $-5pi$. Ha detto a noi di farlo con la divergenza e doveva uscire la stessa cosa.
Le coordinate che io ho usato sono:
${ ( x= rhocostheta cosvarphi ),( y= rhosentheta cos varphi ),( z=rhosenvarphi ):}$
dove $0<= theta <= 2pi$ e $-pi/2 <= varphi <= pi/2$.
L'integrale diventa quindi:
$int_(0)^(2) rho^4 drho int_(0)^(pi/2) sentheta costheta d theta int_(-pi/2)^(pi/2)cos^3 varphi d varphi$ ricordando che ho dovuto "aggiungere il pagamento" $rho^2 cosvarphi$.
Non riporto i calcoli, comunque non mi trovo.
${ ( x= rhocostheta cosvarphi ),( y= rhosentheta cos varphi ),( z=rhosenvarphi ):}$
dove $0<= theta <= 2pi$ e $-pi/2 <= varphi <= pi/2$.
L'integrale diventa quindi:
$int_(0)^(2) rho^4 drho int_(0)^(pi/2) sentheta costheta d theta int_(-pi/2)^(pi/2)cos^3 varphi d varphi$ ricordando che ho dovuto "aggiungere il pagamento" $rho^2 cosvarphi$.
Non riporto i calcoli, comunque non mi trovo.
Ah ok. Così mi sembra corretto. Secondo me è semplicemente un errore della prof. Se calcoli il flusso con la definizione, trovi che
\[
\int_{\partial T}\vec F \cdot \vec n\, dS=\int_{\stackrel{x^2+y^2+z^2=4}{x\ge 0\ y\ge 0}}\left(x^3y+xy^3+xyz^2\right)\, dS\]
(controlla i calcoli se ti va, per essere più sicuro) e quindi il flusso non può essere negativo.
\[
\int_{\partial T}\vec F \cdot \vec n\, dS=\int_{\stackrel{x^2+y^2+z^2=4}{x\ge 0\ y\ge 0}}\left(x^3y+xy^3+xyz^2\right)\, dS\]
(controlla i calcoli se ti va, per essere più sicuro) e quindi il flusso non può essere negativo.
Va bene, quindi comunque ho fatto bene io?
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