Calcolare il limite, se esiste, della seguente successione

[BoG3]

Ciao a tutti, se avessi una situazione del genere:
Calcolare il limite se esiste di una successione che ha il termine n-esimo definito come:

$x_n := {1/(5+a^n)^n}$ dove $a in RR$

io ho pensato: prima di tutto il campo di esistenza: $(a+a^n) !=0$:
$(5+a^n)^n =0$ tutti i numeri sono diversi za 0 se hanno un esponente, quindi dipende tutto dalla bale, la base deve essere diversa da 0:
$(5+a^n) != 0$ ovvero solo quando $a^n = -5$ usando i logaritmi posso scrivere:
$n= log_a (-5)$ ma il log esiste solo per numeri positivi! quindi vale sempre.

poi penso a quando tra $5$ e $5^n$ è predominante l'uno e quando l'altro?

quando $5^n < a^(n^2)$ ?
$ln (5^n) < ln (a^(n^2))$

$n*ln (5) < n^2*ln (a)$

$(n*ln (5))/( n^2*ln (a)) < 0$

$(ln (5))/( n*ln (a)) < 0$

ora dato k $ln(5)$ è positivo, per forza di cose per ottenere un risultato negativo deve essere $n*ln (a)) < 0$
ora o $n<0$ o $ln(a) <0$. dato che $n in NN$ vuoldire che deve essere $ln a <0$ ovvero $a in [0,1]$

quindi ottengo che per $a in [0,1]$ il termine predominante è $1/5^n$ e quindi il limite è $lim_{n \to +\infty}1/5^n = 0$
mentre per $a > 1$ il termine preponderante è $a^(n^2)$ e quindi il limite è $lim_{n \to +\infty}a^(n^2) = +\infty$

puo' funzionare un ragionamento del genere? spero di nn aver sparato troppe cavolate ma ho mia madre che continua a dirmi cosa devo comprare x la cena.. come scegliere le uova, il formaggio ecc... nn mi da un secondo di tregua :\

[deserto1]

"BoG":quando $5^n < a^(n^2)$ ?

Non capisco perchè vai a considerare $a^(n^2)$

"BoG":
$n*ln (5) < n^2*ln (a)$

$(n*ln (5))/( n^2*ln (a)) < 0$

Forse volevi scrivere $(n*ln (5))/( n^2*ln (a)) < 1$ ?

[BoG3]

ciao, allora ho considerato $n*ln (5) < n^2*ln (a)$ perchè ... beh ora che ci penso meglio non risolve un gran che... quindi ho pensato così:
Se porto a limite la successione per $n->\infty$ ottengo:

$lim_(n->\infty) 1/(5+a^n)^n$ ragionando ottengo:
$AA a<0$ ho che $lim_(n->\infty) 1/(5+a^n)^n = -\infty$
$AA a>0$ ho che $lim_(n->\infty) 1/(5+a^n)^n = +\infty$
$AA 0\infty) 1/(5+a^n)^n = 0$
$AA a=0$ ho che $lim_(n->\infty) 1/(5+a^n)^n = 6^n$
$AA a=1$ ho che $lim_(n->\infty) 1/(5+a^n)^n = (5+a)^n$

se ho ragione allora non esiste un limite dato che i limiti cambiano a seconda del parametro $a$ ??
tuttavia se provo a disegnare un grafico 3d usando sulle X il $n$ e sulle Y le $a$ ottengo una specie di pavimento... il che sembra che abbia un limite...

[deserto1]

"BoG":

$lim_(n->\infty) 1/(5+a^n)^n$ ragionando ottengo:
$AA a<0$ ho che $lim_(n->\infty) 1/(5+a^n)^n = -\infty$
$AA a>0$ ho che $lim_(n->\infty) 1/(5+a^n)^n = +\infty$
$AA 0\infty) 1/(5+a^n)^n = 0$
$AA a=0$ ho che $lim_(n->\infty) 1/(5+a^n)^n = 6^n$
$AA a=1$ ho che $lim_(n->\infty) 1/(5+a^n)^n = (5+a)^n$

Hai tirato ad indovinare?
Prova a postare alcuni passaggi così verifichiamo insieme dove ti inganni.