Calcolare il limite al variare del parametro?
Come si calcola questo limite $lim(x->0+) ln(1+2x)e^(k/x)cos(1/x)$ ? Io ho usato il teorema del confronto $-ln(1+2x)<=ln(1+2x)cos(1/x)<=ln(1+2x)$ quindi mi viene che quella parte di limite tende a $0$ poi calcolo il $lim(x->0+)(e^(k/x)) = {+∞ se k>0, 1 se k=0, 0 se k<0}$ quindi ho il limite di $lim(x->0+) ln(1+2x)e^(k/x)cos(1/x) = {0 se k<=0; 0∞ se k>0}$
cerco di togliere la dorma indeterminata e riscrivo il limite così $lim(x->0+) (ln(1+2x)cos(1/x))/(1/(e^(k/x)))$ posso quindi applicare DE HOPITAL, calcolo le due derivate però mi viene che al numeratore quando tende a 0 viene un limite irregolare....
cerco di togliere la dorma indeterminata e riscrivo il limite così $lim(x->0+) (ln(1+2x)cos(1/x))/(1/(e^(k/x)))$ posso quindi applicare DE HOPITAL, calcolo le due derivate però mi viene che al numeratore quando tende a 0 viene un limite irregolare....
Risposte
Scusa, da quale libro hai tratto l'esercizio?
Se per esempio $k=1$ il limite e' $lim_(x->0^+)log (1+2x)e^(1/x)cos (1/x)$ ed il limite non esiste in quanto la quantità $cos (1/x)$, assume alternativamente valori positivi e negativi.
Se fosse stato $lim_(x->0^+)log (1+2x)e^(1/x)|cos (1/x)|$ allora il limite andrebbe a$+infty $ in quanto usando gli asintotici si ha:
$lim_(x->0^+)2xe^(1/x)|cos(1/x)|$ $=lim_(x->0^+)2xe^(1/x) $
e ponendo $1/x =t $ possiamo riscrivere
$lim_(t->infty)2e^t/t=infty $
Se per esempio $k=1$ il limite e' $lim_(x->0^+)log (1+2x)e^(1/x)cos (1/x)$ ed il limite non esiste in quanto la quantità $cos (1/x)$, assume alternativamente valori positivi e negativi.
Se fosse stato $lim_(x->0^+)log (1+2x)e^(1/x)|cos (1/x)|$ allora il limite andrebbe a$+infty $ in quanto usando gli asintotici si ha:
$lim_(x->0^+)2xe^(1/x)|cos(1/x)|$ $=lim_(x->0^+)2xe^(1/x) $
e ponendo $1/x =t $ possiamo riscrivere
$lim_(t->infty)2e^t/t=infty $
"francicko":
Scusa, da quale libro hai tratto l'esercizio?
Se per esempio $k=1$ il limite e' $lim_(x->0^+)log (1+2x)e^(1/x)cos (1/x)$ ed il limite non esiste in quanto la quantità $cos (1/x)$, assume alternativamente valori positivi e negativi.
Se fosse stato $lim_(x->0^+)log (1+2x)e^(1/x)|cos (1/x)|$ allora il limite andrebbe a$+infty $ in quanto usando gli asintotici si ha:
$lim_(x->0^+)2xe^(1/x)|cos(1/x)|$ $=lim_(x->0^+)2xe^(1/x) $
e ponendo $1/x =t $ possiamo riscrivere
$lim_(t->infty)2e^t/t=infty $
Da un fascicolo di esercizi online, perchè? Comunque scusa se io limito la funzione viene in modo diverso...
Essendo $lim_(x->0^+)2xe^(k/x)=infty $, per tutti i valori di $k>0$, il $lim_(x->0^+)log (1+2x)e^(k/x)cos(1/x) $ chiaramente non esiste!
Per valori di $k <0$ si ha $lim_(x->0^+)2xe^(k/x)$ $=lim_(x->0^+)2xe^(-|k|/x)$ $=lim_(x->0^+)2x/e^(|k|/x)=0$, allora essendo $cos (1/x) $ una quantità limitata sarà
$lim_(x->0^+)2xe^(-|k|/x)cos (1/x)=0$.
Per $k=0$ si ha $lim_(x->0^+)2xe^(k/x) $ $=lim_(x->0^+)2xe^0=0$, pertanto e' $lim_(x->0^+)log (1+2x)e^(k/x)cos (1/x)=0$ per $k=0$.
In definitiva per valori di $k>0$ il limite non esiste, per valori di $k <=0$ il limite vale $0$.
Per valori di $k <0$ si ha $lim_(x->0^+)2xe^(k/x)$ $=lim_(x->0^+)2xe^(-|k|/x)$ $=lim_(x->0^+)2x/e^(|k|/x)=0$, allora essendo $cos (1/x) $ una quantità limitata sarà
$lim_(x->0^+)2xe^(-|k|/x)cos (1/x)=0$.
Per $k=0$ si ha $lim_(x->0^+)2xe^(k/x) $ $=lim_(x->0^+)2xe^0=0$, pertanto e' $lim_(x->0^+)log (1+2x)e^(k/x)cos (1/x)=0$ per $k=0$.
In definitiva per valori di $k>0$ il limite non esiste, per valori di $k <=0$ il limite vale $0$.
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