Calcolare il limite
Si calcoli, se esiste, il seguente limite
ovvero per chi non legge latex limite per x che tende a zero di:
[(sqrt(1+x^2))-1]/sin(x^2)+2x * sin 1/x
[math]\lim_{x\to 0 }\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{sin(x^2)+2x}\cdot sin\frac{1}{x}[/math]
ovvero per chi non legge latex limite per x che tende a zero di:
[(sqrt(1+x^2))-1]/sin(x^2)+2x * sin 1/x
Risposte
Allora:
Io ho fatto un cambio di variabili per ricondurlo ad un limite tendente a zero (più facile da calcolare rispetto a questo).
Chiamo (1/x)=t , quindi il limite diventa per t->0 di ((sqrt(1+1/t^2) - 1)/(sin(1/t^2) + 2/t))sin(t)
Quindi usando le equivalenze locali si trova che:
((1/2)(1/t^2)*(t))/(1/t^2 + 2/t)
quindi
(1/(2t))/((1+2t)/t^2)
cioè
lim t->0 (t/2) = 0
Spero di averti aiutato!!
Ciaooo :hi
Io ho fatto un cambio di variabili per ricondurlo ad un limite tendente a zero (più facile da calcolare rispetto a questo).
Chiamo (1/x)=t , quindi il limite diventa per t->0 di ((sqrt(1+1/t^2) - 1)/(sin(1/t^2) + 2/t))sin(t)
Quindi usando le equivalenze locali si trova che:
((1/2)(1/t^2)*(t))/(1/t^2 + 2/t)
quindi
(1/(2t))/((1+2t)/t^2)
cioè
lim t->0 (t/2) = 0
Spero di averti aiutato!!
Ciaooo :hi
In realtà questo è un limite che non consta di alcun conto, è sufficiente osservarlo per bene. E' presente un prodotto il cui secondo fattore evidentemente tende a
[math]0[/math]
mentre il primo è dato dal rapporto di due espressioni, il cui numeratore è asintotico ad [math]x[/math]
mentre il denominatore è asintotico a [math]2x[/math]
, e quindi globalmente si ha che il primo fattore è asintotico ad [math]1/2[/math]
. Vien da sé che il prodotto tenda a [math]0[/math]
. Bye ;)
scusate ma ho sbagliato a scrivere il limite dato deve tendere a 0 non all'infinito...
Anche in tal caso di conti nemmeno l'ombra. L'unica complicazione sta nel fatto che è buona cosa ricordare il seguente limite notevole:
Ora, o si fanno nuovamente delle considerazioni di carattere qualitativo, oppure occorre fare riferimento allo sviluppo in serie di Maclaurin del seno e all'algebra degli "o piccolo" (a questo
punto, anche se nel caso specifico funzionerebbe, ricorrere ai limiti notevoli è in generale scorretto).
In particolare, si ha:
Quindi non credo sia difficile notare che tale limite esista e valga
trascina a tale valore l'intero prodotto ;)
[math]\lim_{t\to 0}\frac{(1+t)^a-1}{t}=a[/math]
, con [math]a\in \mathbb{R}[/math]
. A quel punto è sufficiente moltiplicare e dividere per [math]x^2[/math]
, fare uso di tale limite notevole, ottenendo: [math]\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2}\frac{sin(1/x)}{sin\left(x^2\right)+2x}\\[/math]
. Ora, o si fanno nuovamente delle considerazioni di carattere qualitativo, oppure occorre fare riferimento allo sviluppo in serie di Maclaurin del seno e all'algebra degli "o piccolo" (a questo
punto, anche se nel caso specifico funzionerebbe, ricorrere ai limiti notevoli è in generale scorretto).
In particolare, si ha:
[math]\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2}\frac{sin(1/x)}{x^2+o\left(x^2\right)+2x}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2}\frac{sin(1/x)}{o(x)+o\left(x^2\right)+2x}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2}\frac{sin(1/x)}{o(x)+2x}\\=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2}\frac{sin(1/x)}{2x\left(1+o(1)\right)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{4}\sin\left(1/x\right)\;.\\[/math]
Quindi non credo sia difficile notare che tale limite esista e valga
[math]0[/math]
, in quanto seppur il secondo fattore oscilli con valori appartenenti all'intervallo [math][-1,\,1][/math]
, il primo fattore tendendo a zero trascina a tale valore l'intero prodotto ;)
Scusate mi potete sp
iegare meglio non riesco a capire cosa sono questi o piccoli..
Non c`e un altro metodo per risolverlo
iegare meglio non riesco a capire cosa sono questi o piccoli..
Non c`e un altro metodo per risolverlo
Se non gradisci gli "o piccolo" che nascono inevitabilmente dal troncamento dello sviluppo in serie, allora non ti rimane che usufruire del teorema di de l'Hôpital nel modo seguente:
Va meglio, ora? :)
[math]\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2\left(\sin\left(x^2\right)+2x\right)}\sin(1/x)\overset{H}{=}\lim_{x\to 0}\frac{x}{2\left(x\,\cos\left(x^2\right)+1\right)}\sin(1/x)=0\\[/math]
. Va meglio, ora? :)
Il teorema di de l'hopital non l'ho studiato.
Non c'è proprio un altro metodo più semplice
magaricon l'utilizzo di limiti notevoli.
Se mi potete aiutare vi sarei grato..
Non c'è proprio un altro metodo più semplice
magaricon l'utilizzo di limiti notevoli.
Se mi potete aiutare vi sarei grato..
Gli "o piccolo" non li conosci, il teorema di de l'Hôpital non lo hai studiato e la risoluzione tramite i limiti notevoli applicati come segue (*)
non è formalmente corretta seppur fortuitamente porti al risultato giusto (scritto e sottolineato sopra e qui dimostrato). Mi potresti spiegare come vorresti risolverlo? Io sinceramente quello che dovevo mostrarti te l'ho scritto, per il resto prova con una preghierina che magari si calcola da solo :D
[math]
\begin{align}
&\cdots \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sin\left(x^2\right)+2x}\sin\left(1/x\right)
= \lim_{x\to 0} \frac{x^2\,\sin\left(1/x\right)}{2\left(\sin\left(x^2\right)+2x\right)}\\
&\overset{(*)}{=}\lim_{x\to 0} \frac{x^2\,\sin\left(1/x\right)}{2\left(x^2+2x\right)}
= \lim_{x\to 0} \frac{x\,\sin\left(1/x\right)}{2\left(x+2\right)}
= \lim_{x\to 0} \frac{x}{4}\sin\left(1/x\right)
= 0 \\
\end{align}
[/math]
\begin{align}
&\cdots \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sin\left(x^2\right)+2x}\sin\left(1/x\right)
= \lim_{x\to 0} \frac{x^2\,\sin\left(1/x\right)}{2\left(\sin\left(x^2\right)+2x\right)}\\
&\overset{(*)}{=}\lim_{x\to 0} \frac{x^2\,\sin\left(1/x\right)}{2\left(x^2+2x\right)}
= \lim_{x\to 0} \frac{x\,\sin\left(1/x\right)}{2\left(x+2\right)}
= \lim_{x\to 0} \frac{x}{4}\sin\left(1/x\right)
= 0 \\
\end{align}
[/math]
non è formalmente corretta seppur fortuitamente porti al risultato giusto (scritto e sottolineato sopra e qui dimostrato). Mi potresti spiegare come vorresti risolverlo? Io sinceramente quello che dovevo mostrarti te l'ho scritto, per il resto prova con una preghierina che magari si calcola da solo :D
allora,
incominciamo con il dire che 2x*sin1/x tende a zero per x-->0 perchè 2x tende a zero e sin 1/x oscilla tra -1 e 1
per quanto riguarda il primo addendo,lo si può scrivere nalla forma
[(1+x^2)^1/2-1]/(x^2)*((x/2)/sinx/2)*2x
per i primi 2 fattori abbiamo a che fare con due limiti notevoli : il primo tende a 1/2 e il secondo a 1
quindi il limite del primo addendo è 1/2*1*0=0
nel complesso il tuo limite vale 0
p.s.
tutto quello che ho detto potrebbe essere contestato dalla signora del latex
incominciamo con il dire che 2x*sin1/x tende a zero per x-->0 perchè 2x tende a zero e sin 1/x oscilla tra -1 e 1
per quanto riguarda il primo addendo,lo si può scrivere nalla forma
[(1+x^2)^1/2-1]/(x^2)*((x/2)/sinx/2)*2x
per i primi 2 fattori abbiamo a che fare con due limiti notevoli : il primo tende a 1/2 e il secondo a 1
quindi il limite del primo addendo è 1/2*1*0=0
nel complesso il tuo limite vale 0
p.s.
tutto quello che ho detto potrebbe essere contestato dalla signora del latex
Ora, io non sono né il "signor LaTeX" né altro e sinceramente per un esercizio del genere sono intervenuto fin troppe volte. Però, ecco, il limite che il ragazzo ha scritto in LaTeX è ben differente da quello che ha scritto "in maniera normale" tralasciando una coppia di parentesi fondamentale e che quindi porta alla tua interpretazione, rino6999 (corretta ma non quella desiderata, credo). Infatti, per aver concordanza tra le due scritture, si sarebbe dovuto scrivere:
lim_{x \to 0} (sqrt(1 + x^2) - 1) / (sin(x^2) + 2x) * sin(1/x) .
Che altro aggiungere, penso che i fatti parlino da soli. La "doppia scrittura" credo sia buona cosa per avere più voci che possano contribuire in questo bellissimo Forum ma occorre molta cautela: se con LaTeX eventuali errori di scrittura sono successivamente evidenziati, nella scrittura "standard" purtroppo ciò non accade.
Saluti.
lim_{x \to 0} (sqrt(1 + x^2) - 1) / (sin(x^2) + 2x) * sin(1/x) .
Che altro aggiungere, penso che i fatti parlino da soli. La "doppia scrittura" credo sia buona cosa per avere più voci che possano contribuire in questo bellissimo Forum ma occorre molta cautela: se con LaTeX eventuali errori di scrittura sono successivamente evidenziati, nella scrittura "standard" purtroppo ciò non accade.
Saluti.
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