Calcolare il limite
Salve a tutti. Devo svolgere questo limite usando la disugualglianza di Bernoulli:
$\lim_{x \to \infty} (x^a/b^x)$
Con a un numero intero maggiore di zero .So che il risultato fa zero ma non so come arrivarci. Ricordo che Bernoulli $(1+x)^n >= 1+nx$
$\lim_{x \to \infty} (x^a/b^x)$
Con a un numero intero maggiore di zero .So che il risultato fa zero ma non so come arrivarci. Ricordo che Bernoulli $(1+x)^n >= 1+nx$
Risposte
lascia perdere la disuguaglianza di Bernoulli.
Quel limite fa zero perchè a denominatore hai un'esponenziale. E un'esponenziale con base $b>1$ è più forte di una potenza!..
Tipo confronta all'infinito $f(x)=x^2$ e $h(x)=e^x$ e fai $\lim_{x\to +\infty} (f(x))/(h(x))=0$
Quel limite fa zero perchè a denominatore hai un'esponenziale. E un'esponenziale con base $b>1$ è più forte di una potenza!..
Tipo confronta all'infinito $f(x)=x^2$ e $h(x)=e^x$ e fai $\lim_{x\to +\infty} (f(x))/(h(x))=0$
Sospetto che Esposito.sofia non sappia ancora cosa siano gli ordini di infinito (né tantomeno provare che l'esponenziale è "più forte" rispetto ad una potenza).
Avevo intuito che l'esponenziale fosse " più forte " della potenza ma volevo applicare Bernoulli per svolgere questo limite e vedere come si fa .
Se vuoi usare la disuguaglianza di Bernoulli devi cominciare a dimostrare che
\[
\lim_{n\to+\infty} \frac{n^a}{b^n} = 0\,,
\qquad \forall a\in\mathbb{R}, \ b>1.
\]
Naturalmente basta considerare il caso \(a > 0\), visto che per \(a\leq 0\) si vede facilmente che il limite vale \(0\).
Definiamo \(\beta := b - 1 > 0\), e cominciamo dal caso \(a=1/2\); usando la disuguaglianza di Bernoulli si ha
\[
0 \leq \frac{n^{1/2}}{(1+\beta)^n} \leq \frac{n^{1/2}}{1+n\beta} \to 0.
\]
Per trattare il caso \(a > 0\) qualsiasi basta osservare che
\[
\frac{n^a}{b^n} = \left(\frac{n^{1/2}}{c^n}\right)^{a/2}\,,
\]
con \(c := b^{2/a} > 1\).
\[
\lim_{n\to+\infty} \frac{n^a}{b^n} = 0\,,
\qquad \forall a\in\mathbb{R}, \ b>1.
\]
Naturalmente basta considerare il caso \(a > 0\), visto che per \(a\leq 0\) si vede facilmente che il limite vale \(0\).
Definiamo \(\beta := b - 1 > 0\), e cominciamo dal caso \(a=1/2\); usando la disuguaglianza di Bernoulli si ha
\[
0 \leq \frac{n^{1/2}}{(1+\beta)^n} \leq \frac{n^{1/2}}{1+n\beta} \to 0.
\]
Per trattare il caso \(a > 0\) qualsiasi basta osservare che
\[
\frac{n^a}{b^n} = \left(\frac{n^{1/2}}{c^n}\right)^{a/2}\,,
\]
con \(c := b^{2/a} > 1\).
Eccellente!! Grazie mille
Ciao Rigel , scusami ho rivisto i passaggi ma mi sono incagliata, come sei passato a dire , quando tratti il caso a=1/2 che tutta quella frazione va a zero?
Poiché \(\beta > 0\):
\[
\frac{n^{1/2}}{1+n\beta} < \frac{n^{1/2}}{n\beta} = \frac{1}{\beta} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0.
\]
\[
\frac{n^{1/2}}{1+n\beta} < \frac{n^{1/2}}{n\beta} = \frac{1}{\beta} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0.
\]
Grazie mille, sei stato chiarissimo! quindi visto che all'inzio ai messo che quella quantità è positiva e poi con Bernoulli hai travato che è minore di zero, per i carabinieri il tutto va a zero giusto?
Un'altra cosa: occorre fare la dimostrazione come hai fatto tu per il caso a>o o basta appunto fare l'esempio con a=1/2?
Un'altra cosa: occorre fare la dimostrazione come hai fatto tu per il caso a>o o basta appunto fare l'esempio con a=1/2?
"Esposito.sofia":
quindi visto che all'inzio ai messo che quella quantità è positiva e poi con Bernoulli hai travato che è minore di zero, per i carabinieri il tutto va a zero giusto?
E' minore di una quantità che tende a \(0\).
Un'altra cosa: occorre fare la dimostrazione come hai fatto tu per il caso a>o o basta appunto fare l'esempio con a=1/2?
Una volta fatto il caso \(a=1/2\), il caso generale segue in una riga (quindi conviene farlo).
Grazie mille davvero!!!!! Troppo gentile
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