Calcolare il $\lim_{x \to \0^+}(1/2)^sqrt\(x|ln(x)|)$, aiuto!
Ciao a tutti, ho un problema a calcolare il limite seguente
$\lim_{x \to \0^+}(1/2)^sqrt\(x|ln(x)|)$
che per un intorno di $0$ con raggio inferiore ad $1$ risulterebbe
$\lim_{x \to \0^+}(1/2)^sqrt\(-xln(x))$
Ho provato a risolverlo facendo i seguenti passaggi
$\lim_{x \to \0^+}(1/2)^sqrt\(-xln(x)) => \lim_{x \to \0^+}(1/2)^sqrt\(xln(1/x)) => \lim_{x \to \0^+}(1/2)^sqrt\(ln(1/x)^x) =>
\lim_{x \to \0^+}(1/2)^sqrt\(ln(1/x)^x) => \lim_{x \to \0^+}(1/2)^sqrt\(ln(e^x/x)^x -ln(e^((x^2))) $
e non so più come procedere,rimango sempre con una forma indeterminata proteste aiutarmi?
$\lim_{x \to \0^+}(1/2)^sqrt\(x|ln(x)|)$
che per un intorno di $0$ con raggio inferiore ad $1$ risulterebbe
$\lim_{x \to \0^+}(1/2)^sqrt\(-xln(x))$
Ho provato a risolverlo facendo i seguenti passaggi
$\lim_{x \to \0^+}(1/2)^sqrt\(-xln(x)) => \lim_{x \to \0^+}(1/2)^sqrt\(xln(1/x)) => \lim_{x \to \0^+}(1/2)^sqrt\(ln(1/x)^x) =>
\lim_{x \to \0^+}(1/2)^sqrt\(ln(1/x)^x) => \lim_{x \to \0^+}(1/2)^sqrt\(ln(e^x/x)^x -ln(e^((x^2))) $
e non so più come procedere,rimango sempre con una forma indeterminata proteste aiutarmi?
Risposte
Ma non sai quanto vale $\lim_{x\to 0^+} x\ log(x)$? Strano, di solito lo si passa come limite notevole.
no no non ci è passato come limite notevole, come procedo?
Bé, in soldoni si ha che
$$\lim_{x\to 0^+} x^\alpha \log^\beta(x)=0$$
per ogni $\alpha>0,\ \beta>0$. Di solito si dimostra che la successione $\frac{\log^\beta n}{n^\alpha}$ è infinitesima e da questa si deduce quel limite. Però si può anche fare con de l'Hopital.
$$\lim_{x\to 0^+} x^\alpha \log^\beta(x)=0$$
per ogni $\alpha>0,\ \beta>0$. Di solito si dimostra che la successione $\frac{\log^\beta n}{n^\alpha}$ è infinitesima e da questa si deduce quel limite. Però si può anche fare con de l'Hopital.
"93felipe":
no no non ci è passato come limite notevole, come procedo?
Hai visto qualcosa sulla gerarchia degli infiniti?
Es.
$lim_(x->+\infty) \frac{ln(x)}{x}=0$
perché il logaritmo "cresce meno" di una funzione polinomiale e minestroni (
) simili? 
[size=85]In caso affermativo basterebbe porre $t=1/x$...
[/size]
Ma non basta neanche scrivere il procedimento provato per la risoluzione e tutto ciò che prevede il regolamento per non essere presi in giro e ricevere una risposta adeguata al quesito? mi serviva calcolare questo limite senza gerarchia di infiniti (poichè il mio capra-professore di Analisi nelle prove scritte non vuole che si citino le gerarchie di infiniti e minestroni vari, ma se possibile qualcosa di alternativo per la risoluzione, rimango tutt'oggi ignaro del perchè), applicando la gerarchia di infiniti ne viene che $\lim_{x \to \0^+}sqrt\(-xln(x)) = \lim_{x \to \0^+}sqrt\(-x^2(ln(x))/x) $ e rimango ancora nell' indeterminazione $0*oo$ all'interno della radice, quindi non so come andare avanti...non è mia intenzione essere scortese solo che ogni volta che chido qualcosa in questa sezione prima di rivevere una risposta, pur mostrando il procedimento provato e quant'altro prevede il regolamento, ricevo sempre la critica o la presa in giro...
Per essere precisi il mio prof per dimostrare il limite $\lim_{x \to \+oo}sqrt\(ln(x)/x) utilizza il corollario del primo teorema di Cesaro sulle medie aritmetiche, utilizza il teorema di collegamento tra limiti di successioni e limiti di funzioni e poi lo applica al caso continuo ottenendo tale relazione limite, non so il perchè ma sarebbe capace anche di penalizzare il voto...
"93felipe":
mi serviva calcolare questo limite senza gerarchia di infiniti (poichè il mio capra-professore di Analisi nelle prove scritte non vuole che si citino le gerarchie di infiniti e minestroni vari, ma se possibile qualcosa di alternativo per la risoluzione, rimango tutt'oggi ignaro del perchè), applicando la gerarchia di infiniti ne viene che $\lim_{x \to \0^+}sqrt\(-xln(x)) = \lim_{x \to \0^+}sqrt\(-x^2(ln(x))/x) $
Infatti non intendevo questo.
Ponendo $t=1/x$ si ha che $t->+\infty$ e,all'interno della radice,
- $x$ --> $1/t$
- $|log(x)|$ --> $|log(1/t)| = |-log(t)|= log(t)$ (dato che $t->+\infty$ posso supporre tranquillamente $t>1$).
Da cui il limite diventa
$lim_(t->+\infty) (1/2)^(\sqrt(\frac{log(t)}{t}))$
te l'ho scritto perché mi sa che avevi frainteso il senso del suggerimento.
Per quanto riguarda metodi alternativi... non mi viene in mente nulla (almeno per ora)...
"ciampax":
Bé, in soldoni si ha che
$$\lim_{x\to 0^+} x^\alpha \log^\beta(x)=0$$
per ogni $\alpha>0,\ \beta>0$. Di solito si dimostra che la successione $\frac{\log^\beta n}{n^\alpha}$ è infinitesima e da questa si deduce quel limite. Però si può anche fare con de l'Hopital.
grazie mille
"Zero87":
[quote="93felipe"]mi serviva calcolare questo limite senza gerarchia di infiniti (poichè il mio capra-professore di Analisi nelle prove scritte non vuole che si citino le gerarchie di infiniti e minestroni vari, ma se possibile qualcosa di alternativo per la risoluzione, rimango tutt'oggi ignaro del perchè), applicando la gerarchia di infiniti ne viene che $\lim_{x \to \0^+}sqrt\(-xln(x)) = \lim_{x \to \0^+}sqrt\(-x^2(ln(x))/x) $
Infatti non intendevo questo.
Ponendo $t=1/x$ si ha che $t->+\infty$ e,all'interno della radice,
- $x$ --> $1/t$
- $|log(x)|$ --> $|log(1/t)| = |-log(t)|= log(t)$ (dato che $t->+\infty$ posso supporre tranquillamente $t>1$).
Da cui il limite diventa
$lim_(t->+\infty) (1/2)^(\sqrt(\frac{log(t)}{t}))$
te l'ho scritto perché mi sa che avevi frainteso il senso del suggerimento.
Per quanto riguarda metodi alternativi... non mi viene in mente nulla (almeno per ora)...[/quote]
Grazie mille
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