Calcolare il lavoro di un campo vettoriale lungo una curva

[marc.kr]

salve a tutti, avrei bisogno di aiuto per quanto riguarda lo svolgimento di esercizi come questo





Per quanto riguarda la verifica di Gauss-Green ho provato a considerare il dominio:
D={(x,y): -1 il risultato mi esce -8/3
Tuttavia procedendo calcolando l'integrale di seconda specie sulla curva mi esce un risultato differente.
Per calcolare l'integrale di seconda specie ho considerato la curva $ \gamma $ come l'unione di 5 curve. Dopo aver parametrizzato le 5 curve ho calcolato l'integrale su ognuna (avendo cura di cambiare di segno laddove necessario) e ho calcolato la somma con il risultato di -59/6.
Ho provato a fare più volte questo esercizio o comunque questa tipologia ma i risultati non coincidono mai, quindi mi chiedo se sbaglio qualcosa nel procedimento o semplicemente faccio solo errori di calcoli.
Vi chiederei gentilmente qualche dritta su come procedere in questi esercizi (magari un modo per semplificare un po' i calcoli) e magari se possibile una soluzione di questo esercizio in particolare. Grazie in anticipo per la risposta

[Studente Anonimo]

Visto che:

$4\int_{-1}^{0}(2x+1)\int_{-1}^{x+1}ydydx+4\int_{0}^{1}(2x+1)\int_{-1}^{-x+1}ydydx=$

$=4\int_{-1}^{0}(2x+1)[y^2/2]_{-1}^{x+1}dx+4\int_{0}^{1}(2x+1)[y^2/2]_{-1}^{-x+1}dx=$

$=2\int_{-1}^{0}(2x+1)(x^2+2x)dx+2\int_{0}^{1}(2x+1)(x^2-2x)dx=$

$=2\int_{-1}^{0}(2x^3+5x^2+2x)dx+2\int_{0}^{1}(2x^3-3x^2-2x)dx=$

$=2[1/2x^4+5/3x^3+x^2]_{-1}^{0}+2[1/2x^4-x^3-x^2]_{0}^{1}=-8/3$

probabilmente sbagli qualcosa nel calcolo esplicito. Se non le hai già utilizzate, puoi provare con le parametrizzazioni sottostanti:

$[0 lt= t lt= 1] rarr \{(x=-t+1),(y=t):}$

$[0 lt= t lt= 1] rarr \{(x=-t),(y=-t+1):}$

$[0 lt= t lt= 1] rarr \{(x=-1),(y=-t):}$

$[0 lt= t lt= 1] rarr \{(x=2t-1),(y=-1):}$

$[0 lt= t lt= 1] rarr \{(x=1),(y=t-1):}$

[marc.kr]

Ciao, per prima cosa grazie mille per la risposta, finalmente ho capito che l'errore era soltanto di calcolo... Tuttavia non riesco proprio a calcolare il risultato corretto, ogni volta che ci provo mi esce un risultato diverso. Riusciresti mica a darmi una soluzione completa degli integrali sulle curve? Grazie in anticipo