Calcolare il lavoro del campo F mediante il Teorem di Stokes

[Aint]

Salve a tutti, allora io ho questo esercizio:

Calcolare il lavoro del campo $F(x,y) = (y+e^(x+3y),3e^(x+3y)−x)$ lungo l’ellisse di equazione $2x^2+y^2 = 1$ percorsa una sola volta in senso orario.

ok allora io ho provato con i metodi che conoscevo dal libro ma mi sono solo più incasinato...

intanto vi posto un po' di passaggi:


$\{(x=1/(sqrt2)cos(t)),(y=sin(t)):}$ $0<=t<=2pi$


questa è la parametrizzazione dell'ellisse..

ora io so che il Lavoro su un campo è:


$L=\int_{a}^{b} F(r(t))*|r'(t)| dt$

però se faccio così viene un calcolo impossibile.. (difficilissimo)

guardando la soluzione (ovviamente non svolta ma solo spiegata -.-) dice


"Possiamo calcolare il lavoro L del campo F lungo l’ellisse percorsa in senso orario utilizzando il teorema di Stokes nel piano"

ok, ovunqiue guardo però io trovo solo una spiegazione un po' complicata per quello nello spazio e comunque parla di Circuitazione e non so come venirne a capo per gli esercizi di questo tipo!!!

qualcuno mi può spiegare????


Grazie!

[Sk_Anonymous]

Premetto che non riesco a vedere completamente la seconda componente del tuo campo vettoriale. La formula che hai usato è un integrale su linea non orientata, un integrale che viene per esempio utilizzato per calcolare la massa di un sistema "unidimensionale" quando si conosce la densità lineare. La funzione integranda è uno scalare. Nel caso proposto dovresti invece calcolare un integrale su linea orientata, in altri termini la circuitazione del vettore. Se il vettore è una forza, questa circuitazione è il lavoro. La formula che devi applicare è diversa, non dovresti avere difficoltà a trovarla. In ogni modo, se riuscissi a dimostrare che il campo è conservativo, questo integrale sarebbe nullo, senza dover fare il calcolo esplicito. Quest'ultima considerazione è legata al teorema di Stokes.

[Aint]

"speculor":Premetto che non riesco a vedere completamente la seconda componente del tuo campo vettoriale. La formula che hai usato è un integrale su linea non orientata, un integrale che viene per esempio utilizzato per calcolare la massa di un sistema "unidimensionale" quando si conosce la densità lineare. La funzione integranda è uno scalare. Nel caso proposto dovresti invece calcolare un integrale su linea orientata, in altri termini la circuitazione del vettore. Se il vettore è una forza, questa circuitazione è il lavoro. La formula che devi applicare è diversa, non dovresti avere difficoltà a trovarla. In ogni modo, se riuscissi a dimostrare che il campo è conservativo, questo integrale sarebbe nullo, senza dover fare il calcolo esplicito. Quest'ultima considerazione è legata al teorema di Stokes.

esatto io la formula l'ho trovata però ho comunque dei porblemi..

la formula giusta è questa:


$int$$int$ $rotF*ndS$ $=$ $int$ $F*tds$


dove n è il vettore normale e t il vettore tangente.

ora io ho calcolato $rot F$ in 2 dimensioni e viene -2 (che col -fuori dall'integrale perché siamo in senso orario diviene +2)

il problema è... come lo calcolo il vettore normale al piano in 2 dimensioni???? se fossero 3 farei il prodotto vettoriale tramite la matrice e sarei a posto... ma in 2 così come faccio????? in pratica mi manca da far solo quel calcolo e poi FORSE (se combacia il risultato) ho capito e finito l'esercizio!!!


Grazie...


RETTIFICO, ok penso di aver trovato la formula per il versore normale in 2D

$N(t)= ($ $(y'(t))/sqrt((x'(t))^2+(y'(t))^2)$ $ ;$ $(-x'(t))/sqrt((x'(t))^2+(y'(t))^2) $$)$

ora il problema continua... dopo nell'integrale ho uno scalare (-2) moltiplicato per il versore normale che èun vettore in forma cartesiana...

come faccio???

$int$$int$ $2*$$($$cos(t)$ $;$ $(1/sqrt(2))sin(t)$$)$ $dxdy$

sul libro ho solo esempi in $R^3$....

[Sk_Anonymous]

Quando il campo vettoriale è bidimesionale, il rotore del campo è un vettore perpendicolare al piano, diretto lungo z per intenderci. Tu dici di aver trovato -2. Devo supporre il vettore (0,0,-2). A questo punto, quando calcoli quel flusso, il prodotto scalare del rotore con il versore normale (0,0,-1) vale +2, lo porti fuori dall'integrale e moltiplichi per l'area del dominio d'integrazione, quella dell'ellisse. Ho considerato il versore (0,0,-1) a causa dell'orientamento della linea.

[Aint]

capito.. io la vedevo in un altro modo...

oggi son oriuscito a risolverlo da solo, tramite delle considerazioni sulle formule di Stokes...

in pratica ho poi fatto

$int int ((dF2)/(dx) - (dF1)/(dy)) dxdy$

ed è venuto il risultato...