Calcolare il flusso uscente dall'insieme
L'esercizio mi chiede:
Dopo aver descritto l’insieme
$D = {(x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2 <= z <= x + y}$
si calcoli il flusso del campo F(x, y, z) = (2x, 3y, -z) uscente da D
div$F=2+3-1=4 $
Quindi l'integrale da calcolare è
$ ∫ ∫ ∫ 4 dx dy dz $
però non sono sicuro su come calcolare gli estremi d'integrazione
dall'insieme ho preso $x^2 + y^2 <= x + y$ quindi $x^2 + y^2-x-y <= 0$
che è l'area interna di un cerchio con centro $(1/2,1/2)$ e raggio $(√2)/2$
Devo usare le coordinate cilindriche?
con $r∈[0,(√2)/2], α∈[0,2π], z∈[r^2,rsinα+rcosα]$
Inoltre l'esercizio mi chiede di descrivere l'insieme, che devo dire?
Dopo aver descritto l’insieme
$D = {(x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2 <= z <= x + y}$
si calcoli il flusso del campo F(x, y, z) = (2x, 3y, -z) uscente da D
div$F=2+3-1=4 $
Quindi l'integrale da calcolare è
$ ∫ ∫ ∫ 4 dx dy dz $
però non sono sicuro su come calcolare gli estremi d'integrazione
dall'insieme ho preso $x^2 + y^2 <= x + y$ quindi $x^2 + y^2-x-y <= 0$
che è l'area interna di un cerchio con centro $(1/2,1/2)$ e raggio $(√2)/2$
Devo usare le coordinate cilindriche?
con $r∈[0,(√2)/2], α∈[0,2π], z∈[r^2,rsinα+rcosα]$
Inoltre l'esercizio mi chiede di descrivere l'insieme, che devo dire?
Risposte
Grazie, per la spiegazione.
Questo punto però non mi è chiaro
$ \Phi : x = \frac{1}{2} + \rhocos\theta , y = \frac{1}{2} + \rhosin\theta \ $
quel $+1/2$ lo mettiamo perchè il centro della circonferenza non è nell'origine degli assi?
Questo punto però non mi è chiaro
"TeM":
A questo punto, dal momento che \[ x^2+y^2 \le x+y \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{1}{2}\right)^2 \le \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \] adottando una trasformazione di coordinate del tipo \[ \Phi : \begin{cases} x = \frac{1}{2} + \rho\,\cos\theta \\ y = \frac{1}{2} + \rho\,\sin\theta \end{cases} \; \; \; \text{per} \; \left(\rho,\,\theta\right) \in \left[0,\,\frac{1}{\sqrt{2}}\right] \times [0,\,2\pi)\,, \; \; \; \text{ove} \; \; J_{\Phi}(\rho,\,\theta) = \rho \] ed eseguendo correttamente le sostituzioni, l'integrale è presto calcolato [ris.: \(\Phi = \frac{\pi}{2}\)].
$ \Phi : x = \frac{1}{2} + \rhocos\theta , y = \frac{1}{2} + \rhosin\theta \ $
quel $+1/2$ lo mettiamo perchè il centro della circonferenza non è nell'origine degli assi?
"TeM":
[quote="Beppe95"]Quel $ +1/2 $ lo mettiamo perchè il centro della circonferenza non è nell'origine degli assi?
La risposta è sì, ma su tale giustificazione occorre meditare un attimo.
Infatti, passando a coordinate polari nel piano, affinché sia \(0 \le \rho \le \frac{1}{\sqrt{2}}\), come hai sopra scritto, non
potrebbe essere diversamente, in quanto la parametrizzazione adottata deve soddisfare la disequazione
\(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{1}{2}\right)^2 \le \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\) per ogni \(0 \le \rho \le \frac{1}{\sqrt{2}}\) (e per ogni \(0 \le \theta < 2\,\pi\)).
Spero sia un po' più chiaro.
[/quote]Grazie, ho capito
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