Calcolare il flusso
Calcolare il flusso del rotore del campo $F(x,y,z)= yi-xj+(x^2+y^2)k$ attraverso la porzione del paraboloide $S={(x,y,z)inR^3|z=4-x^2-4y^2, z>=0}$ orientata con il versore normale che punta verso l'alto.
Nelle soluzioni viene esplicitato $C: 4-x^2-4y^2=0$ e parametrizzato come
$x(t)=2cost$
$y(t)=sint t:[0,2pi]$
$z(t)=0 $
$ t:[0,2pi]$
Viene applicato stokes
$int_{0}^{2pi}F*tau$ e alla fine:
$int_{0}^{2pi}(sint,-2cost,4cos^2t+sin^2t)*(-2sint,cost,0)dt$
Con capisco $tau$ come lo tira fuori.
Nelle soluzioni viene esplicitato $C: 4-x^2-4y^2=0$ e parametrizzato come
$x(t)=2cost$
$y(t)=sint t:[0,2pi]$
$z(t)=0 $
$ t:[0,2pi]$
Viene applicato stokes
$int_{0}^{2pi}F*tau$ e alla fine:
$int_{0}^{2pi}(sint,-2cost,4cos^2t+sin^2t)*(-2sint,cost,0)dt$
Con capisco $tau$ come lo tira fuori.
Risposte
tu devi trovare la frontiera di $S={(x,y,z)inR^3|z=4-x^2-4y^2, z>=0}$ ed è proprio la curva $gamma={(x,y,z)inR^3|z=4-x^2-4y^2, z=0}$
quindi sostituisci la z=0 nella prima equazione e ottieni:
$0=4-x^2-4y^2=>x^2+4y^2=4=>x^2/4+y^2=1$ adesso parametrizzi come se fosse una parabola (EDIT un'ellisse. che ci centra la parabola? XD) e ottieni proprio
$ gamma(t){ ( x=2cost ),( y=sint ),( z=0 ):} $ con $tin[0,2pi]$.
e quindi derivando e facendo la sostituzione $f(x,y,z)->f(gamma(t))$ ti viene proprio quell'integrale che hai trovato sul libro in quanto
$ intf*tau=int_0^(2pi)f(gamma(t))*gamma'(t)dt $
quindi sostituisci la z=0 nella prima equazione e ottieni:
$0=4-x^2-4y^2=>x^2+4y^2=4=>x^2/4+y^2=1$ adesso parametrizzi come se fosse una parabola (EDIT un'ellisse. che ci centra la parabola? XD) e ottieni proprio
$ gamma(t){ ( x=2cost ),( y=sint ),( z=0 ):} $ con $tin[0,2pi]$.
e quindi derivando e facendo la sostituzione $f(x,y,z)->f(gamma(t))$ ti viene proprio quell'integrale che hai trovato sul libro in quanto
$ intf*tau=int_0^(2pi)f(gamma(t))*gamma'(t)dt $
Giusto! Mi dimentico sempre queste cose!
Un'ultima cosa. Non sono buono in geometria. Il 2 nella parametrizzazione della x da dove viene?
Un'ultima cosa. Non sono buono in geometria. Il 2 nella parametrizzazione della x da dove viene?
data una parabola in forma canonica $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ se
$ { ( tildex=x/a ),( tildey=y/b ):} $ sostituendo nell'equazione della parabola ti si semplificano i coefficienti e ti viene $tildex^2+tildey^2=1$.
adesso è come se stessi parametrizzando una circonferenza di raggio 1. quindi
$ { ( tildex=cost ),( tildey=sint ):}=>{ (x/a= tildex=cost ),(y/b= tildey=sint ):}=>{ ( x=acost ),( y=bsint ):} $
insomma la parametrizzazione di un ellisse può sembrare difficile da ricordare, ma non lo è. basta pensare che se sostituisci la x e la y all'equazione ti deve dare 1=1. oppure se devi parametrizzare la superficie interna ad un ellisse deve venirti $r^2<=1$.
$ { ( tildex=x/a ),( tildey=y/b ):} $ sostituendo nell'equazione della parabola ti si semplificano i coefficienti e ti viene $tildex^2+tildey^2=1$.
adesso è come se stessi parametrizzando una circonferenza di raggio 1. quindi
$ { ( tildex=cost ),( tildey=sint ):}=>{ (x/a= tildex=cost ),(y/b= tildey=sint ):}=>{ ( x=acost ),( y=bsint ):} $
insomma la parametrizzazione di un ellisse può sembrare difficile da ricordare, ma non lo è. basta pensare che se sostituisci la x e la y all'equazione ti deve dare 1=1. oppure se devi parametrizzare la superficie interna ad un ellisse deve venirti $r^2<=1$.
Ottima spiegazione!
Grazie mille!!
Grazie mille!!
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