Calcolare i numeri utilizzando lo sviluppo di Taylor
Salve ragazzi come dice il titolo vorrei sapere come posso utilizzare lo sviluppo di Taylor per calcolare sino alla terza cifra decimale un numero. Un esempio $ln 2$. Io ho provato a sostituire il numero $2$ nello sviluppo di Taylor del $ln x$ ma il risultato non è corretto, qualcuno puo aiutarmi ?? 
Risposte
"frenky46":
Io ho provato a sostituire il numero $2$ nello sviluppo di Taylor del $ln x$ ma il risultato non è corretto
devi usare lo sviluppo di
$ln(x+1)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+(-1)^(2n+1)*x^n/n$
nel tuo caso hai:
$ln(1+1)=1-1/2+1/3-...$
Ho provato a fare anche così ma ottengo :
$ln 2 = 1-1/2+1/3-1/4 = 0,5833333$ quando in realtà il $ln 2 = 0,6931$
E anche continuando ad addizionare i termini di Taylor non ottengo il risultato.
$ln 2 = 1-1/2+1/3-1/4 = 0,5833333$ quando in realtà il $ln 2 = 0,6931$
E anche continuando ad addizionare i termini di Taylor non ottengo il risultato.
Posto $s_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \frac{1}{k}$, hai la stima
$0 < \log(2) -s_n < \frac{1}{n+1}$.
Per ottenere 3 cifre decimali corrette devi sommare 1000 termini...
$0 < \log(2) -s_n < \frac{1}{n+1}$.
Per ottenere 3 cifre decimali corrette devi sommare 1000 termini...
quella è una formula lenta, ma davvero molto lenta a convergere. essendo a segno alterno, l'errore è dell'ordine di grandezza del primo termine trascurato.
vuol dire che devi sommare un migliaio di termini per ottenre un risultato corretto per le prime 3 cifre decimali.
non conviene eh?
vuol dire che devi sommare un migliaio di termini per ottenre un risultato corretto per le prime 3 cifre decimali.
non conviene eh?
@frenky46
Rigel e blackbishop13 hanno assolutamente ragione. Se quello che ti serve è esercitarti prova col seno che è più rapido nella convergenza.
Rigel e blackbishop13 hanno assolutamente ragione. Se quello che ti serve è esercitarti prova col seno che è più rapido nella convergenza.
"Rigel":
Per ottenere 3 cifre decimali corrette devi sommare 1000 termini...
Ahah.. Buon lavoro frenky.
Come curiosità segnalo questo link:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#265470
in cui abbiamo parlato di alcuni algoritmi per il calcolo delle cifre binarie ed esadecimali rispettivamente di $log2$ e di $pi$. L'algoritmo per $log2$ è più semplice rispetto a quello per $pi$. Solo una curiosità comunque, non lo consiglio a chi stia preparando l'esame di Analisi 1.
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#265470
in cui abbiamo parlato di alcuni algoritmi per il calcolo delle cifre binarie ed esadecimali rispettivamente di $log2$ e di $pi$. L'algoritmo per $log2$ è più semplice rispetto a quello per $pi$. Solo una curiosità comunque, non lo consiglio a chi stia preparando l'esame di Analisi 1.
Purtroppo sono esercizi che ci ha dato il professore. Beh ma se devo sommare 1000 termini credo passerò avanti, comunque è quello il modo per risolvere l'esercizio ?
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