Calcolare gli integrali usando i residui
Salve, sto preparando l'esame di metodi matematici e sto trovando qualche difficoltà a svolgere gli integrali tramite i residui. Non mi sono chiari tutti i passaggi .
Dato:
$ int_(-oo)^(+oo) (sen x + cosx)/((4x+pi)(x^2+pi^2)) dx $
1°)Calcolo i poli: $ { ( +- piJ ),(- pi/4 ):} $
2°)Applico la formula $ int_(-oo)^(+oo) f(z)dz = 2 pij [R(Z1)+...+R(Zn)] $
3°) Calcolo i residui nei poli $ f(+- piJ) ----- f(- pi/4 ) $ <--(devo prendere solo i punti reali? o entrambi?)
Grazie in anticipo.
Sto studiando dal libro "Lezioni di Metodi Matematici per L'ingegneria" - Luigi Grieco
Dato:
$ int_(-oo)^(+oo) (sen x + cosx)/((4x+pi)(x^2+pi^2)) dx $
1°)Calcolo i poli: $ { ( +- piJ ),(- pi/4 ):} $
2°)Applico la formula $ int_(-oo)^(+oo) f(z)dz = 2 pij [R(Z1)+...+R(Zn)] $
3°) Calcolo i residui nei poli $ f(+- piJ) ----- f(- pi/4 ) $ <--(devo prendere solo i punti reali? o entrambi?)
Grazie in anticipo.
Sto studiando dal libro "Lezioni di Metodi Matematici per L'ingegneria" - Luigi Grieco
Risposte
Il teorema dei residui va applicato ad un integrale nel piano complesso, non lungo l'asse reale.
Devi quindi riuscire a trovare un circuito $\gamma\subset\mathbb C$ (che non passi per i poli) tale che
\[
\oint_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x,
\]
dove nel primo $f$ è una opportuna funzione di variabile complessa, nel secondo è quella data.
Il tuo procedimento è sbagliato, come avrai capito.
I poli sono corretti, il resto no.
Per risolverlo, io proverei a spezzare l'integrale in...
Devi quindi riuscire a trovare un circuito $\gamma\subset\mathbb C$ (che non passi per i poli) tale che
\[
\oint_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x,
\]
dove nel primo $f$ è una opportuna funzione di variabile complessa, nel secondo è quella data.
Il tuo procedimento è sbagliato, come avrai capito.
I poli sono corretti, il resto no.
Per risolverlo, io proverei a spezzare l'integrale in...