Calcolare_Funzione

[ludoedgar]

Salve
gentile prof. potrebbe darmi una mano a risolvere in maniera completa,
mettendo anche i commenti sulle regole che applica, il seguente problema:
Data la f(x) = x logx+(4-x) - log(4-x) definita su un intervallo I = ( 0, 4 )
calcolare:
-limiti agli estremi del dominio;
-intervalli di monotonia;
-punti di max e min (relativi e assoluti);

Grazie anticipatamente

Cordiali saluti
Ludovico.

[Sk_Anonymous]

Allora, il limite in 0^+ vale 4-log 4; l'unica cosa non banale e' xlog x che tende a 0, e si vede sostituendo x=1/t e usando il limite notevole del logaritmo (log t/t tende a 0 se t tende all'infinito).

Il limite in 4^- vale +infinito, e questo e' immediato.

Da cio' segue che la funzione non e' superiormente limitata e quindi non ha massimo assoluto.

Quanto alla monotonia si ha f'=log x +1/(4-x). Per uno studio del segno occorre uno studio grafico. SE disegni log x e 1/x-4 si vede che esiste un a in cui f'=0 e f decresce in (0,a) e cresce in (a,4). Quindi a e' punto di minimo (assoluto).

Luca Lussardi
http://www.lussardi.tk

[ludoedgar]

Per favore potrebbe spiegarmi l'esercizio in parole più semplici?

[Sk_Anonymous]

Mi sembrava di essere stato molto semplice nell'esporre... comunque e' meglio che giri la domanda io: cosa non ti e' chiaro?

Luca Lussardi
http://www.lussardi.tk

[ludoedgar]

"Il limite in 4^- vale +infinito"

A me viene 4log(4) ... Perchè?

[ludoedgar]

Mi scusi, ma ho confuso un "per" con un "meno", questa è la funzione corretta:
f(x) = x log x + (4 - x) log(4 - x)

[Sk_Anonymous]

Cambiano parecchie cose allora, a parte i limiti agli estremi che vengono 4 log 4 entrambi, cambia anche la monotonia; infatti si ha f'(x)=x-log(4-x). Mi sa che per trovare in punti critici e gli intervalli di crescenza devi comunque fare uno studio grafico, simile a quello fatto per la versione errata.

[ludoedgar]

Allora io ho provato a risolvere tutto l'esercizio:

f(x)=x logx + (4-x) log(4-x) definita su l'intervallo I=(0, 4)

a) Calcolare i limiti agli estremi del dominio
b) Intervalli di monotonia
c) Punti di max e min

Svolgimento:

a)

lim x-->0 f(x)= 4 log4

lim x-->4 f(x)= 4 log4

b)
calcolo la derivata
f' (x)= 1 logx+x (1/x)+(-1 log(4-x)+(4-x) (1/4-x) )=

= logx+1+(-log(4-x)+1) = logx - log(4-x)+2 = log(x/4-x)+2

studio il segno della derivata
log(x/4-x)+2>0

{ x/4-x >0 sol. 0 {
{2>0 sol. x>2

faccio il grafico delle soluzioni(prodotto dei segni), ottenendo così che: da 0 a 2 descresce, da 2 a 4 cresce

c)
f(x)=x logx + (4-x) log(4-x)
f(2)=2 log2 + (4-2) log(4-2) =
= 2 log2 + 2 log2 = 2 log4 quindi 2 è un minimo assoluto.

Come le sembra? Dove sbaglio (se sbaglio) ?

[Pas77]

Non vorrei sbagliarmi ma mi sembra che la disequazione che rappresenta il segno dela derivata non è stata svolta bene....

log(x/4-x)+2>0 equivale al sistema che ha

1a disequazione x/(x-4)>0 soluzione 0
2a disequazione log(x/4-x)+2>0 soluzione 0
La soluzione del sistemas è 0

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