Calcolare Flusso attraverso una superficie
Ciao a tutti mi sono imbattuto in degli esercizi che non so davvero come affrontare.
Mi viene fornito il campo di cui voglio il flusso attraverso una superficie data in forma parametrica
in classe abbiamo svolto solo esercizi in cui ho un parametro mentre qui ne ho due e non so come svolgerli.
penso che debbano essere risolti o col teorema di Gauss o con quello di Stokes ma non so da dove partire..
per esepio nonso svolgere:
Campo (x,xy,$z^2$)
Superficie (x=$u^2$, y=v-u, z=$v^2$ ) con 0$<=$ u$<=$ 2 e 0$<=$ v$<=$ 1
il comando dell'esercizio è di calcolare il flusso del campo attraverso la superficie...
Mi viene fornito il campo di cui voglio il flusso attraverso una superficie data in forma parametrica
in classe abbiamo svolto solo esercizi in cui ho un parametro mentre qui ne ho due e non so come svolgerli.
penso che debbano essere risolti o col teorema di Gauss o con quello di Stokes ma non so da dove partire..
per esepio nonso svolgere:
Campo (x,xy,$z^2$)
Superficie (x=$u^2$, y=v-u, z=$v^2$ ) con 0$<=$ u$<=$ 2 e 0$<=$ v$<=$ 1
il comando dell'esercizio è di calcolare il flusso del campo attraverso la superficie...
Risposte
Mi sa che fai prima a calcolarti il flusso con la definizione (è abbastanza semplice).
si ma sono esercizi di analisi II su questo argomento specifico...e comunque come come me lo calcolo direttamente?
Se $X(u,v) = (x,y,z)(u,v)$ parametrizza la tua superficie $S$, ti calcoli il vettore normale $N(u,v) = \frac{partial X}{\partial u} \wedge \frac{partial X}{\partial v}$ e ti scrivi il flusso
$\int_S F\cdot n dS = \int_0^2 (\int_0^1 F(X(u,v))\cdot N(u,v) dv) du$.
$\int_S F\cdot n dS = \int_0^2 (\int_0^1 F(X(u,v))\cdot N(u,v) dv) du$.
grazie mille!!!!
esiste comunque il modo di farlo con i rotori?
esiste comunque il modo di farlo con i rotori?
un'ulteriore domanda...la normale deve essere quella uscente no?
come faccio operativamente ad accorgermi quando la normale che ho calcolato è uscente od entrante?
per esempio con la superficie $\psi$ =(x,y,z,)=(u+v,v,u-v)
la normale me la calcolo come il prodotto vettore
$(delψ)/(delu)$ $^^^$ $(delψ)/(delv)$
e se non ho sbagliato i calcoli mi viene N(u,v) =(-2,2,1) svolgendo i calcoli ho poi trovato un flusso pari a -5 ma la soluzione è 5 quindi penso che abbia sbagliato nel considerare entrante la normale...xò come faccio a capirlo a botta?
come faccio operativamente ad accorgermi quando la normale che ho calcolato è uscente od entrante?
per esempio con la superficie $\psi$ =(x,y,z,)=(u+v,v,u-v)
la normale me la calcolo come il prodotto vettore
$(delψ)/(delu)$ $^^^$ $(delψ)/(delv)$
e se non ho sbagliato i calcoli mi viene N(u,v) =(-2,2,1) svolgendo i calcoli ho poi trovato un flusso pari a -5 ma la soluzione è 5 quindi penso che abbia sbagliato nel considerare entrante la normale...xò come faccio a capirlo a botta?
Visto che la superficie non è chiusa non ha senso parlare di normale entrante o uscente.
giusto è vero...e allora perche mi torna un flusso con segno sbagliato?
Perché l'altro è stato calcolato con la superficie orientata nell'altro verso.
Sono giusti entrambi, se non è specificato l'orientamento della superficie.
Sono giusti entrambi, se non è specificato l'orientamento della superficie.
cioè quella "giusta" nel mio caso sarebbe quella che ottengo con il prodotto vettore scambiato?
N= ∂ψ/∂v ⋀ ∂ψ/∂u
nel testo comunque mi viene detto che è con la normale dettata dalla parametrizzazione quindi pensao fosse giusto il primo metodo che ti ho detto...
N= ∂ψ/∂v ⋀ ∂ψ/∂u
nel testo comunque mi viene detto che è con la normale dettata dalla parametrizzazione quindi pensao fosse giusto il primo metodo che ti ho detto...
Per la parametrizzazione $\psi$ che hai scritto prima la normale viene $(-1,2,1)$.
vero 
se invece avessi la superficie in forma cartesiana come andrebbe svolto l'esercizio?
per esempio
S= ( z=$x^2+y^2$, $x^2+y^2$$<=1$ ) e un campo F($y^3$,z-x,$x^2$)
la mia idea sarebbe parametrizzare la superficie ma devo fare in modo di sceglierla in modo da avere la normale uscente...
se invece avessi la superficie in forma cartesiana come andrebbe svolto l'esercizio?
per esempio
S= ( z=$x^2+y^2$, $x^2+y^2$$<=1$ ) e un campo F($y^3$,z-x,$x^2$)
la mia idea sarebbe parametrizzare la superficie ma devo fare in modo di sceglierla in modo da avere la normale uscente...
Uscente da cosa? Anche questa non è una superficie chiusa (è una porzione di paraboloide).
allora il testo mi dice (testuali parole) : se si tratta della superficie (o superficie "laterale") di un solido, data la forma cartesiana implicita, l'orientazione è quella della normale uscente....questo è quello che ti so dire
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