Calcolare $ f^(20)(0) $ di una $f(z)$
Come da titolo, dovrei calcolare:
$ f^(20) (0) $ dove $ f(z) = \frac {7z^4}{(1-z)^2} $
Non ho idea di come si risolve un esercizio simile
Qualche suggerimento? Grazie 
$ f^(20) (0) $ dove $ f(z) = \frac {7z^4}{(1-z)^2} $
Non ho idea di come si risolve un esercizio simile
Qualche suggerimento? Grazie
Risposte
Bisogna sviluppare $1/(1-z)^2$ in serie di Taylor secondo la formula
$(1+z)^\alpha=\sum_(n=0)((\alpha),(n))z^n$
Questo sviluppo produce una serie di termini con potenze di z crescenti da zero a infinito.
Noi andiamo a guardare la 16°, perchè poi verrà moltiplicata per $z^4$, producendo un termine con $z^20$.
Questo è l'unico termine che ci interessa, siccome è l'unico che derivato 20 volte, diventa una costante non nulla.
Quindi
$\sum_(n=0)((-2),(16))z^n=1+...+16z^16+...$
Moltiplicato per $z^4$ diventa $16z^20$.
Questo termine, derivato 20 volte, diventa $16(20!)$
Quindi la risposta cercata, senza dimenticare il fattore 7, è $112(20!)$.
Non sono sicuro al 100% sui coefficienti vari, ma la procedura è questa.
$(1+z)^\alpha=\sum_(n=0)((\alpha),(n))z^n$
Questo sviluppo produce una serie di termini con potenze di z crescenti da zero a infinito.
Noi andiamo a guardare la 16°, perchè poi verrà moltiplicata per $z^4$, producendo un termine con $z^20$.
Questo è l'unico termine che ci interessa, siccome è l'unico che derivato 20 volte, diventa una costante non nulla.
Quindi
$\sum_(n=0)((-2),(16))z^n=1+...+16z^16+...$
Moltiplicato per $z^4$ diventa $16z^20$.
Questo termine, derivato 20 volte, diventa $16(20!)$
Quindi la risposta cercata, senza dimenticare il fattore 7, è $112(20!)$.
Non sono sicuro al 100% sui coefficienti vari, ma la procedura è questa.
Ok,il procedimento l'ho capito. E rifacendo i conti è giusto come dice TeM. Si cerca di trovare uno sviluppo noto della funzione, o di una parte di essa, per poi moltiplicarla per la parte già sviluppata senza dimenticare il fattoriale. Ho due dubbi:
1) Noi conosciamo lo sviluppo noto di $ (1+z)^\alpha $ ma noi abbiamo una sottrazione, ossia $ (1-z)^-2 $, perché
vale lo stesso?
2) Se fosse stato $f^(20)(7)$ cosa sarebbe cambiato? Ho messo 7 ma la mia domanda ovviamente è più generica.
Aggiornamento: Ok TeM mi ha risolto il dubbio 1 xD.
1) Noi conosciamo lo sviluppo noto di $ (1+z)^\alpha $ ma noi abbiamo una sottrazione, ossia $ (1-z)^-2 $, perché
vale lo stesso?
2) Se fosse stato $f^(20)(7)$ cosa sarebbe cambiato? Ho messo 7 ma la mia domanda ovviamente è più generica.
Aggiornamento: Ok TeM mi ha risolto il dubbio 1 xD.
Capito, grazie
Non per contraddire TeM, che è sempre preciso e completo, ma in vista di domande trabocchetto all'esame, si può anche calcolare la $f^((16))(7)$.
Serve un cambio di variabile, $z=t+7$, così che quando $z=7$ abbiamo che $t=0$ e si procede come di consueto con qualche accorgimento.
Se abbiamo $(1+z)^(-2)$ sostituiamo $z=t+7$ e abbiamo
$(8+t)^(-2) = 1/(64)(1+t/8)^-2$
Se sostituiamo ancora $u=t/8$ ritroviamo $(1+u)^(-2)$ di cui sappiamo che il 16° termine è $17u^16$ che è l'unico che sopravvive facendo la derivazione al 16° grado.
Poi applichiamo all'inverso le sostituzioni
$17((z-7)/8)^16$ e troviamo che la derivata 16° è $(17(16!))/(8^16)\~~1,2637$.
Se avevamo il termine $z^4$ la questione si complicava ulteriormente perchè $(7z^4)/(1-z)^2$ andava scomposto in fratti semplici.
Serve un cambio di variabile, $z=t+7$, così che quando $z=7$ abbiamo che $t=0$ e si procede come di consueto con qualche accorgimento.
Se abbiamo $(1+z)^(-2)$ sostituiamo $z=t+7$ e abbiamo
$(8+t)^(-2) = 1/(64)(1+t/8)^-2$
Se sostituiamo ancora $u=t/8$ ritroviamo $(1+u)^(-2)$ di cui sappiamo che il 16° termine è $17u^16$ che è l'unico che sopravvive facendo la derivazione al 16° grado.
Poi applichiamo all'inverso le sostituzioni
$17((z-7)/8)^16$ e troviamo che la derivata 16° è $(17(16!))/(8^16)\~~1,2637$.
Se avevamo il termine $z^4$ la questione si complicava ulteriormente perchè $(7z^4)/(1-z)^2$ andava scomposto in fratti semplici.
OK !!!
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