Calcolare estremi locali e globali della funzione
4) la funzione è $ f(x,y)=(x^4+y^4)e^(-(x^2+y^2)/2 $
Diciamo che ho pensato di ridurre un pò la funzione sostituendo l'esponenziale con l'esponente (ma l'esponenziale è decrescente e l'esponente andrebbe moltiplicato per l'altro pezzo di funzione... quindi... si complica ancor di più... avete qualche suggerimento??? Grazie in anticipo!
Diciamo che ho pensato di ridurre un pò la funzione sostituendo l'esponenziale con l'esponente (ma l'esponenziale è decrescente e l'esponente andrebbe moltiplicato per l'altro pezzo di funzione... quindi... si complica ancor di più... avete qualche suggerimento??? Grazie in anticipo!
Risposte
Potresti cercare i massimi e minimi su una retta generica passante per l'origine $ y=alphax $: ci si riduce ad una variabile! 
$ f(x, alphax)=x^4(1+alpha^4)e^(-(x^2(1+alpha^2))/2) $
$ f(x, alphax)=x^4(1+alpha^4)e^(-(x^2(1+alpha^2))/2) $
ma così giungo a delle conclusioni che dipendono dal parametro alfa e quindi non sono "assolute".. o sbaglio?
Se un punto e' di massimo o minimo per una funzione in $ mathbb(R^2) $ lo e' pure per la sua restrizione a una curva che passa per il massimo o minimo (se vale <= al piu' potrebbe essere che valga solo l'uguale...)
Se un punto e' di massimo o minimo per una curva, allora puo' essere di massimo o minimo per la funzione in $ mathbb(R^2) $ o puo' non esserlo, ma di sicuro studiando $ f(x,y) $ su tutto il fascio di rette trovi i candidati massimi o minimi.
Del resto quando si studiano le derivate prime no si fa altro che cercare i candidati restringendo lo studio della funzione a due rette, per dimostrare che effettivamente sia massimo o minimo serve l'hessiano o altri sistemi...
Se un punto e' di massimo o minimo per una curva, allora puo' essere di massimo o minimo per la funzione in $ mathbb(R^2) $ o puo' non esserlo, ma di sicuro studiando $ f(x,y) $ su tutto il fascio di rette trovi i candidati massimi o minimi.
Del resto quando si studiano le derivate prime no si fa altro che cercare i candidati restringendo lo studio della funzione a due rette, per dimostrare che effettivamente sia massimo o minimo serve l'hessiano o altri sistemi...
Io passerei in coordinate polari. Si ottiene la stessa semplificazione che ha visto ostrogoto ma senza i patemi d'animo di starsi restringendo alle rette.
Ok ci riprovo!
Ma scrivendo la funzione in coordinate polari mi ritrovo la funzione pur sempre in funzione di due variabili, rho e teta...e inoltre come faccio a trovare gli estremi???
E pure tu hai ragione, io non mi ero accorto che il pezzo $x^4+y^4$ in effetti non è a simmetria radiale. Niente, ti tocca farti tutti i conti con le derivate. Forza e coraggio che sono conti che bisogna saper fare.
PS: Si scrive "theta". E' buono a sapersi se vuoi scrivere in LaTeX: $\theta$, non \(teta\)
PS: Si scrive "theta". E' buono a sapersi se vuoi scrivere in LaTeX: $\theta$, non \(teta\)
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