Calcolare estremi di un insieme, è svolto bene?
Salve a tutti, rieccomi con un dubbio apocalittico, ovvero lo svolgimento di questo tipo di esercizio che nonostante debba essere abbastanza facile, mi crea non pochi dubbi sul suo svolgimento. Purtroppo sui miei libri ho trovato ben poco sull'argomento e sul web l'argomento risulta molto semplificato, se avete consigli su esercizi svolti o teoria sul web riguardo l'argomento vi prego di segnalarmeli 
Ma veniamo a noi, ecco l'esercizio:
Determinare estremo superiore, inferiore ed eventualmente max e min del seguente insieme:
[size=150]
$ A={ a_n= (1+2+...n)/(n^2 + 2n) : n in NN , n>=1 } $[/size]
Ricordando che per $ n>=1 $ risulta $ 1+2+...n= (n(n+1))/2 $
Ecco il mio svolgimento:
$ a_n= ((n(n+1))/2)/(n^2+2n) = (n+1)/(2n+4) $
calcolando i primi 5 valori di n ottengo i seguenti risultati:
$ (x_1=1/3=0,33), (x_2=3/8=0,37), (x_3=4/10=0,40), (x_4=5/12=0,41), (x_5=6/14=0,42) $
La successione risulterebbe quindi crescente, propondendo quindi come minimo=estremo inferiore=1/3.
Per trovare invece il massimo e l'estremo superiore ho studiato la funzione $ f(n)=(n+1)/(2n+4) $
ovvero: $\lim_{n \to \infty}f(n)=1/2$
essendo la successione crescente tuttavia non si può ottenere un massimo, ma l'estremo superiore risulterà per n-> +oo quindi uguale ad $ 1/2 $
Ditemi che è svolto bene vi prego T_T
Saluti e grazie anticipatamente.
Ma veniamo a noi, ecco l'esercizio:
Determinare estremo superiore, inferiore ed eventualmente max e min del seguente insieme:
[size=150]
$ A={ a_n= (1+2+...n)/(n^2 + 2n) : n in NN , n>=1 } $[/size]
Ricordando che per $ n>=1 $ risulta $ 1+2+...n= (n(n+1))/2 $
Ecco il mio svolgimento:
$ a_n= ((n(n+1))/2)/(n^2+2n) = (n+1)/(2n+4) $
calcolando i primi 5 valori di n ottengo i seguenti risultati:
$ (x_1=1/3=0,33), (x_2=3/8=0,37), (x_3=4/10=0,40), (x_4=5/12=0,41), (x_5=6/14=0,42) $
La successione risulterebbe quindi crescente, propondendo quindi come minimo=estremo inferiore=1/3.
Per trovare invece il massimo e l'estremo superiore ho studiato la funzione $ f(n)=(n+1)/(2n+4) $
ovvero: $\lim_{n \to \infty}f(n)=1/2$
essendo la successione crescente tuttavia non si può ottenere un massimo, ma l'estremo superiore risulterà per n-> +oo quindi uguale ad $ 1/2 $
Ditemi che è svolto bene vi prego T_T
Saluti e grazie anticipatamente.
Risposte
inoltre pensavo, per dimostrare la crescenza in modo più preciso (dato che il metodo di calcolo è poco come dire, corretto) potrei dimostrarla svolgendo:
$ a_(n+1)>a_n$ ?
EDIT: appena risolta, conviene dimostrarla in questo modo dato che è formalmente corretto
$ a_(n+1)>a_n$ ?
EDIT: appena risolta, conviene dimostrarla in questo modo dato che è formalmente corretto
Monotonia crescente, non crrescenza: la crescenza è questa http://www.formaggio.it/crescenza.htm
Per la monotonia effettivamente conviene dimostrarla facendo vedere che, $a_{n+1}>a_n$ (anche perché quella di procedere a tentativi non è neanche una dimostrazione!). Per il resto mi sembra svolto bene.
Un metodo alternativo può essere quello di "semplificare" un po' la forma della successione:
$a_n={n+1}/{2(n+2)}={n+2-1}{2(n+2)}=1/2({n+2}/{n+2}-1/{n+2})=1/2(1-1/{n+2})$
Quest'ultima forma ti permette di dire un sacco di cose: poiché $n+2\ge 2$ allora $0<1/{n+2}\le 1/2$ e quindi $-1/2\le -1/{n+2}<0$ e ancora $1/2\le 1-1/{n+2}<1$ e infine $1/4\le a_n<1/2$. Questo ti dice che la successione è limitata tra il valore $1/4$ che si ottiene per $n=0$ e il valore $1/2$ per il limite. Inoltre, dal momento che $(n+1)+2>n+2$ allora $-1/{(n+1)+2}> -1/{n+2}$ e quindi la successione è crescente.
Per la monotonia effettivamente conviene dimostrarla facendo vedere che, $a_{n+1}>a_n$ (anche perché quella di procedere a tentativi non è neanche una dimostrazione!). Per il resto mi sembra svolto bene.
Un metodo alternativo può essere quello di "semplificare" un po' la forma della successione:
$a_n={n+1}/{2(n+2)}={n+2-1}{2(n+2)}=1/2({n+2}/{n+2}-1/{n+2})=1/2(1-1/{n+2})$
Quest'ultima forma ti permette di dire un sacco di cose: poiché $n+2\ge 2$ allora $0<1/{n+2}\le 1/2$ e quindi $-1/2\le -1/{n+2}<0$ e ancora $1/2\le 1-1/{n+2}<1$ e infine $1/4\le a_n<1/2$. Questo ti dice che la successione è limitata tra il valore $1/4$ che si ottiene per $n=0$ e il valore $1/2$ per il limite. Inoltre, dal momento che $(n+1)+2>n+2$ allora $-1/{(n+1)+2}> -1/{n+2}$ e quindi la successione è crescente.
purtroppo le successioni sono il mio punto debole 
non ho tutta questa elasticità 
senza dubbio il tuo modo di risoluzione è più efficace e permettimi di dirlo più "elegante" e non poco del mio
ottimo l'esempio della crescenza, lo ricorderò di certo
P.s. so che sostituire i primi valori nella successione non è una dimostrazione per la monotonia, ma la uso unicamente per orientarmi un pò vedendo i primi valori della successione
non ho tutta questa elasticità senza dubbio il tuo modo di risoluzione è più efficace e permettimi di dirlo più "elegante" e non poco del mio ottimo l'esempio della crescenza, lo ricorderò di certo
P.s. so che sostituire i primi valori nella successione non è una dimostrazione per la monotonia, ma la uso unicamente per orientarmi un pò vedendo i primi valori della successione
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