Calcolare esplicitamente due sommatorie con la formula della progressione geometrica
Ciao a tutti, sul mio libro non ci sono i risultati, quindi potete dirmi se il procedimento ed il risultato del mio esercizio è giusto perfavore?
L'esercizio chiede di calcolare due sommatorie diverse con la formula della progressione geometrica: $\sum_{k=0}^n q^k= (1-q^(n+1))/(1-q)$
prima sommatoria: $\sum_{k=0}^30(-1)^k*2^(3k+1)/(3^k)$ seconda sommatoria:$\sum_{k=2}^100 3^(2-k)$
risultato prima sommatoria:$(1-((-2^91)/3^30)^31)/(1-((-2^91)/3^30)) =(1-(-0,6^61)^31)/(1-(-0,6^61)$
risultato seconda sommatoria: $\sum_{k=0}^98 3^(2-k+2)= (1-(3^(2-98+2))^99)/(1-(3^(2-98+2) ) $
L'esercizio chiede di calcolare due sommatorie diverse con la formula della progressione geometrica: $\sum_{k=0}^n q^k= (1-q^(n+1))/(1-q)$
prima sommatoria: $\sum_{k=0}^30(-1)^k*2^(3k+1)/(3^k)$ seconda sommatoria:$\sum_{k=2}^100 3^(2-k)$
risultato prima sommatoria:$(1-((-2^91)/3^30)^31)/(1-((-2^91)/3^30)) =(1-(-0,6^61)^31)/(1-(-0,6^61)$
risultato seconda sommatoria: $\sum_{k=0}^98 3^(2-k+2)= (1-(3^(2-98+2))^99)/(1-(3^(2-98+2) ) $
Risposte
Ciao Galestix,
No, è errato. Vedo che hai la tendenza a complicarti parecchio l'esistenza...
Devi cercare di ricondurre le somme che hai proposto a quella della progressione geometrica.
Suggerimenti:
1) $\sum_{k=0}^30(-1)^k*2^(3k+1)/(3^k) = 2 \sum_{k=0}^30(-1)^k*8^k/(3^k) = 2 \sum_{k=0}^30 (-8/3)^k$
Applica la formula con $n = 30$ e $q = -frac{8}{3}$.
2) $\sum_{k=2}^100 3^(2-k) = \sum_{k=2}^100 3^{- (k - 2)} = \sum_{k=2}^100 (frac{1}{3})^{k - 2} = \sum_{p=0}^98 (frac{1}{3})^p$
Applica la formula con $n = 98$ e $q = frac{1}{3}$.
No, è errato. Vedo che hai la tendenza a complicarti parecchio l'esistenza...
Devi cercare di ricondurre le somme che hai proposto a quella della progressione geometrica.
Suggerimenti:
1) $\sum_{k=0}^30(-1)^k*2^(3k+1)/(3^k) = 2 \sum_{k=0}^30(-1)^k*8^k/(3^k) = 2 \sum_{k=0}^30 (-8/3)^k$
Applica la formula con $n = 30$ e $q = -frac{8}{3}$.
2) $\sum_{k=2}^100 3^(2-k) = \sum_{k=2}^100 3^{- (k - 2)} = \sum_{k=2}^100 (frac{1}{3})^{k - 2} = \sum_{p=0}^98 (frac{1}{3})^p$
Applica la formula con $n = 98$ e $q = frac{1}{3}$.
grazie per il suggerimento ed hai ragione, non semplifico mai prima di iniziare, devo ragionare prima di buttarmi. comunque così è giusto?
1)$(1-(-8/3)^31)/(1-(-8/3)) = ((3+8)/3)^31/((3+8)/3) = (11/3)^31*(1/(11/3))= (11)^30$
2)$(1-(1/3)^99)/(1-1/3)= ((-2/3)^99)/(2/3)=(-2/3)^99*1/(2/3)=(-2/3)^98$
1)$(1-(-8/3)^31)/(1-(-8/3)) = ((3+8)/3)^31/((3+8)/3) = (11/3)^31*(1/(11/3))= (11)^30$
2)$(1-(1/3)^99)/(1-1/3)= ((-2/3)^99)/(2/3)=(-2/3)^99*1/(2/3)=(-2/3)^98$
Assolutamente no... Hai commesso gravi errori concettuali nel sommare i numeratori di quelle frazioni: ti sconsiglio caldamente di andare a fare l'esame di Analisi finché non hai maggiore confidenza con questo tipo di calcoli. Non sono al corrente di come sia l'Università oggi perché mi sono laureato 20 anni fa, ma ti assicuro che "ai miei tempi" ti massacravano per molto molto meno... 
o mammaa ma che diamine ho fatto?? ho applicato formule a caso perchè probabilmente non ti interessa ma mi sta scoppiando la testa e ho fatto un casino,o mamma, lo credo che ti è preso un colpo ecco i risultati....
1)$\sum_{k=0}^n q^k=(1-q^(n+1))/(1-q)= (1-(-8/3)^31)/(1-(-8/3))*2(1 $
2)$\sum_{k=0}^n q^k=(1-q^(n+1))/(1-q)= (1-(1/3)^99)/(1-1/3)$
comunque ho appena iniziato a studiare dopo tanto ecco perchè sono così arruginito. comunque così è corretto vero?
1)$\sum_{k=0}^n q^k=(1-q^(n+1))/(1-q)= (1-(-8/3)^31)/(1-(-8/3))*2(1 $
2)$\sum_{k=0}^n q^k=(1-q^(n+1))/(1-q)= (1-(1/3)^99)/(1-1/3)$
comunque ho appena iniziato a studiare dopo tanto ecco perchè sono così arruginito. comunque così è corretto vero?
No, ancora no, riprova... I denominatori li puoi sommare e... Poi tieni conto che
$(-frac{8}{3})^31 = (-1)^31 \cdot (frac{8}{3})^31 = - (frac{8}{3})^31$
$(-frac{8}{3})^31 = (-1)^31 \cdot (frac{8}{3})^31 = - (frac{8}{3})^31$
prendendo in considerazione il tuo suggerimento mi è venuta in mentre un altra idea però magari sbaglio e uso la tua ,comunque te la faccio vedere cosi se puoi mi dice se è sbagliata: $(-1)/(3)(-8)=-((-8)/(3))$
allora sviluppando con il tuo sugggerimento e dimenticando ieri sera
:
1)$2\sum_{k=0}^30 (-8/3)^k$ applicando $\sum_{k=0}^n q^k=(1-q^(n+1))/(1-q)= $
$(1-[-(8/3)^31]*2)/(1-[-(8/3)])=(1-[-(8^31/3^31)]*2)/(1-[-(8/3)])=[1-[-(8^31/3^31)]*2)/((3+8)/(3))=[1-[-(8^31/3^31)]*2)/(11/3)$
2)$\sum_{k=0}^98 (1/3)^k$applicando $\sum_{k=0}^n q^k=(1-q^(n+1))/(1-q)= $
$(1-(1/3)^99)/(1-(1/3))=(1-(1^99/3^99))/((3-2)/(3))=(1-(1^99/3^99))/(2/3)$
così va bene? mi ero scordato di scriverti grazie quindi modifico il messaggio e ti dico grazie per la dritta
spero che ho fatto il procedimento corretto
allora sviluppando con il tuo sugggerimento e dimenticando ieri sera
:1)$2\sum_{k=0}^30 (-8/3)^k$ applicando $\sum_{k=0}^n q^k=(1-q^(n+1))/(1-q)= $
$(1-[-(8/3)^31]*2)/(1-[-(8/3)])=(1-[-(8^31/3^31)]*2)/(1-[-(8/3)])=[1-[-(8^31/3^31)]*2)/((3+8)/(3))=[1-[-(8^31/3^31)]*2)/(11/3)$
2)$\sum_{k=0}^98 (1/3)^k$applicando $\sum_{k=0}^n q^k=(1-q^(n+1))/(1-q)= $
$(1-(1/3)^99)/(1-(1/3))=(1-(1^99/3^99))/((3-2)/(3))=(1-(1^99/3^99))/(2/3)$
così va bene? mi ero scordato di scriverti grazie quindi modifico il messaggio e ti dico grazie per la dritta
spero che ho fatto il procedimento corretto
Ciao Galestix,
No, mi dispiace, ci sei vicino, ma vi sono ancora errori nei passaggi, mancate semplificazioni e c'è anche una omissione di parentesi "obbligatoria"...
Faccio prima se ti dico quali sono i risultati:
1) $2 \sum_{k=0}^30 (-8/3)^k = frac{6}{11}[1 +(frac{8}{3})^31]$
2) $\sum_{p=0}^98 (1/3)^p = frac{3}{2}[1 -(frac{1}{3})^99]$
Ora prova a ricontrollare i tuoi conti (specialmente nella 1), nella 2) c'eri quasi a parte un errore in un passaggio al denominatore ed una mancata semplificazione...) in modo da comprendere perché sono questi i risultati.
No, mi dispiace, ci sei vicino, ma vi sono ancora errori nei passaggi, mancate semplificazioni e c'è anche una omissione di parentesi "obbligatoria"...
Faccio prima se ti dico quali sono i risultati:
1) $2 \sum_{k=0}^30 (-8/3)^k = frac{6}{11}[1 +(frac{8}{3})^31]$
2) $\sum_{p=0}^98 (1/3)^p = frac{3}{2}[1 -(frac{1}{3})^99]$
Ora prova a ricontrollare i tuoi conti (specialmente nella 1), nella 2) c'eri quasi a parte un errore in un passaggio al denominatore ed una mancata semplificazione...) in modo da comprendere perché sono questi i risultati.
grazie di nuova per la tua risposta, sei veramente gentile, ho capito i miei errori algebrici e credo proprio che devo farmi un bel ripasso, comunque ho ricontrollato e mi viene così:
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1)$ 2\sum_{k=0}^30 (-8/3)^k=(2)(1-[(-1)^31*(8/3)^31])/(1-[(-1)*(8/3)])= (2)([1+(8/3)^31])/(1+(8/3))=(2)([1+(8/3)^31])/(11/3)=(3)/(11)(2)[1+(8/3)^31]=6/11 [1+(8/3)^31] $
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2)$\sum_{k=0}^98 (1/3)^k=(1-(1/3)^99)/(1-(1/3))=(1-(1^99/3^99))/((3-1)/(3))=[[1-(1^99/3^99)]]/(2/3)= 3/2[1-(1/3)^99]$
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ora non dovrebbero esserci errori, è esatta la mia correzione? ti prego dimmi di sì
.
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1)$ 2\sum_{k=0}^30 (-8/3)^k=(2)(1-[(-1)^31*(8/3)^31])/(1-[(-1)*(8/3)])= (2)([1+(8/3)^31])/(1+(8/3))=(2)([1+(8/3)^31])/(11/3)=(3)/(11)(2)[1+(8/3)^31]=6/11 [1+(8/3)^31] $
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2)$\sum_{k=0}^98 (1/3)^k=(1-(1/3)^99)/(1-(1/3))=(1-(1^99/3^99))/((3-1)/(3))=[[1-(1^99/3^99)]]/(2/3)= 3/2[1-(1/3)^99]$
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ora non dovrebbero esserci errori, è esatta la mia correzione? ti prego dimmi di sì
.
E' stata dura, ma ce l'abbiamo fatta...
ahahah hai ragione, ti ringrazio ancora
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