Calcolare errore nelle serie
Ciao a tutti, ho diversi esercizi in cui si chiede quanti termini occorre sommare per avere un valore della somma con un errore
So che per fare questo tipo di esercizio prima devo verificare la convergenza della serie e fino a qui tutto ok.
Poi da quanto ho capito dipende dal tipo di serie che ho:
-Geometrica
$ sum_(n = 0) q^n= q^n+q^(n+1)+q^(n+2)...=q^n(1+q+q^2..)=1/(1-q) $
poi pongo $ 1/(1-q)*q^n<= err $ e trovo n
-Armonica
$ sum(1/k^n)<=int_(n-1)^(+∞) 1/k^x dx $ poi risolvo l'integrale e pongo il risultato <= errore
-Serie a segni alterni del tipo $ sum(-1^n)(an) $
pongo $ |a(n+1)|<= err $ mentre altri dicono $ |a(n)|<= err $
Qualcuno saprebbe dirmi se sono giuste queste formule?
So che per fare questo tipo di esercizio prima devo verificare la convergenza della serie e fino a qui tutto ok.
Poi da quanto ho capito dipende dal tipo di serie che ho:
-Geometrica
$ sum_(n = 0) q^n= q^n+q^(n+1)+q^(n+2)...=q^n(1+q+q^2..)=1/(1-q) $
poi pongo $ 1/(1-q)*q^n<= err $ e trovo n
-Armonica
$ sum(1/k^n)<=int_(n-1)^(+∞) 1/k^x dx $ poi risolvo l'integrale e pongo il risultato <= errore
-Serie a segni alterni del tipo $ sum(-1^n)(an) $
pongo $ |a(n+1)|<= err $ mentre altri dicono $ |a(n)|<= err $
Qualcuno saprebbe dirmi se sono giuste queste formule?
Risposte
Per l'ultima tua domanda, come ulteriore conseguenza del criterio di Leibniz, si ha la possibiltà di poter stimare l'errore che si commette approssimando la somma $S$ della serie con la somma parziale $n^{\text{ma}} S_n,$ che è dato da
$$\left|\displaystyle\sum_{n= 0}^{\infty}(-1)^n a_n-\displaystyle\sum_{n= 0}^{n}(-1)^n a_n\right|\le a_{n+1},\,\,\,\text{oppure, che è lo stesso}\,\,\,\,\left|\sum_{k= n+1}^{+\infty}(-1)^k a_{k}\right|=\sum_{k= n+1}^{+\infty} a_{k}\le a_{n+1}$$
$$\left|\displaystyle\sum_{n= 0}^{\infty}(-1)^n a_n-\displaystyle\sum_{n= 0}^{n}(-1)^n a_n\right|\le a_{n+1},\,\,\,\text{oppure, che è lo stesso}\,\,\,\,\left|\sum_{k= n+1}^{+\infty}(-1)^k a_{k}\right|=\sum_{k= n+1}^{+\infty} a_{k}\le a_{n+1}$$
Non ho capito il tuo discorso. A me nell'esercizio viene dato un errore che può essere tipo 10^-2 e io dalla mia serie devo trovare l'n, vorrei solo capire quale delle due formule devo utilizzare.
si ... poichè l'errore che commetti troncando la serie ad un certo indice $ n$ è dato da
\[\sum_{k= n+1}^{+\infty}(-1)^k a_{k}\]
l'errore che commetti approssimando la somma della serie con un errore pari, ad esempio, a $\frac{1}{100}$ sarà dato dagli $n$ tali che
\[\left|\sum_{k= n+1}^{+\infty}(-1)^k a_{k}\right|=\sum_{k= n+1}^{+\infty} a_{k}\le a_{n+1}<\frac{1}{100}\]
\[\sum_{k= n+1}^{+\infty}(-1)^k a_{k}\]
l'errore che commetti approssimando la somma della serie con un errore pari, ad esempio, a $\frac{1}{100}$ sarà dato dagli $n$ tali che
\[\left|\sum_{k= n+1}^{+\infty}(-1)^k a_{k}\right|=\sum_{k= n+1}^{+\infty} a_{k}\le a_{n+1}<\frac{1}{100}\]
Ok, quindi io ho la serie
$ sumcos(n)/(n^2+2n) $ e la richiesta che mi fanno è che errore commetto sommando i primi 10 termini, quindi io pongo
$ |cos(n+1)/((n+1)^2+2(n+1))|=|cos(11)/((11)^2+22)| approx 6,8*10^-3 $
$ sumcos(n)/(n^2+2n) $ e la richiesta che mi fanno è che errore commetto sommando i primi 10 termini, quindi io pongo
$ |cos(n+1)/((n+1)^2+2(n+1))|=|cos(11)/((11)^2+22)| approx 6,8*10^-3 $
ma quella non è una serie di tipo Leibniz, quindi quella maggiorazione non vale
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