Calcolare e Verificare i limiti con definizione
Ciao a tutti,sono Silvia e sto affrontando lo studio di analisi matematica,in particolar modo ho difficoltà riguardo lo studio dei limiti mediante la definizione.
Vi spiego la mia situazione,so che i casi sono 4 ovvero Limite FINITO con x che tende ad un valore finito o ad infinito,uso la formula |f(x)-l |< ε;
Mentre con Limite INFINITO con x che tende a valore finito o ad infinito uso la formula |f(x)|>M o <-M a seconda del segno dell'infinito
Il mio dubbio, riguarda il valore assoluto, nel caso del limite che tende a infinito; facendo esercizi che ho trovato in giro per internet ho visto nelle soluzioni che a volte usavano la formula |f(x)|>M mettendo la funzione nel valore assoluto, mentre altre volte la funzione viene posta maggiore di M senza valore assoluto.
Non riesco a capire quando va usato o meno! Potete aiutarmi a chiarire le idee?
Grazie
Vi spiego la mia situazione,so che i casi sono 4 ovvero Limite FINITO con x che tende ad un valore finito o ad infinito,uso la formula |f(x)-l |< ε;
Mentre con Limite INFINITO con x che tende a valore finito o ad infinito uso la formula |f(x)|>M o <-M a seconda del segno dell'infinito
Il mio dubbio, riguarda il valore assoluto, nel caso del limite che tende a infinito; facendo esercizi che ho trovato in giro per internet ho visto nelle soluzioni che a volte usavano la formula |f(x)|>M mettendo la funzione nel valore assoluto, mentre altre volte la funzione viene posta maggiore di M senza valore assoluto.
Non riesco a capire quando va usato o meno! Potete aiutarmi a chiarire le idee?
Grazie
Risposte
"Silvietta91":
Il mio dubbio, riguarda il valore assoluto, nel caso del limite che tende a infinito; facendo esercizi che ho trovato in giro per internet ho visto nelle soluzioni che a volte usavano la formula |f(x)|>M mettendo la funzione nel valore assoluto, mentre altre volte la funzione viene posta maggiore di M senza valore assoluto.
Non riesco a capire quando va usato o meno! Potete aiutarmi a chiarire le idee?
Grazie
Posta qualche esempio, così su 2 piedi la vedo difficile.
Posso solo dirti che probabilmente il valore assoluto non c'è perché in qualche modo si sa già il segno della funzione.
Ciao,guarda io ho preso degli esercizi da questo sito
http://www.matepratica.info/2012/02/limite-infinito-per-x-che-tende-ad-un_22.html
e,dopo aver impostato la disequazione > M oppure < - M a seconda dei casi
(dipende dal caso in cui il limite tenda a + o - infinito...giusto??) mette tutto tra valore assoluto e fa il sistema.
In quest'altra sezione di esercizi invece,sempre dello stesso sito http://www.matepratica.info/2012/02/limite-infinito-per-x-che-tende-ad-un.html dopo aver impostato l'ooportuna disequazione,non fa uso del valore assoluto.
Non riesco a capire quando devo usare o meno questo benedetto valore assoluto..non capisco da cosa dipende!!
Forse il troppo studio mi ha rimbambita!
Grazie in anticipo a chiunque mi risponderà
http://www.matepratica.info/2012/02/limite-infinito-per-x-che-tende-ad-un_22.html
e,dopo aver impostato la disequazione > M oppure < - M a seconda dei casi
(dipende dal caso in cui il limite tenda a + o - infinito...giusto??) mette tutto tra valore assoluto e fa il sistema.
In quest'altra sezione di esercizi invece,sempre dello stesso sito http://www.matepratica.info/2012/02/limite-infinito-per-x-che-tende-ad-un.html dopo aver impostato l'ooportuna disequazione,non fa uso del valore assoluto.
Non riesco a capire quando devo usare o meno questo benedetto valore assoluto..non capisco da cosa dipende!!
Forse il troppo studio mi ha rimbambita!
Grazie in anticipo a chiunque mi risponderà
Definizioni così, dove $\infty$ compare senza segno e la disuguaglianza è quella di cui parli (i.e. $|f(x)|>M$) mi è capitato di leggerle solo su testi per il liceo, e da ignorante potrei dire che per le funzioni $RR\to RR$ una definizione del genere è di scarso interesse "pratico" (come anche la definizione di limite per $x\to infty$, $\infty$ senza segno, che, tuttavia, forse - continuo a parlare da ingorante 
- trova qualche "motivazione" nel fatto che per funzioni $RR^k\to RR$ la definizione di limite "all'infinito" è data in questo modo).
Definizioni a parte, concordo con Zero87: se posti qualche esempio è decisamente meglio
EDIT: @Silvietta: sorry, non avevo notato il tuo ultimo post
- trova qualche "motivazione" nel fatto che per funzioni $RR^k\to RR$ la definizione di limite "all'infinito" è data in questo modo).Definizioni a parte, concordo con Zero87: se posti qualche esempio è decisamente meglio
EDIT: @Silvietta: sorry, non avevo notato il tuo ultimo post
$lim_(x -> x_0) f(x) = +oo$ se $\forall M > 0$, $\exists \delta > 0$ tale che $\forall x \in (x_0 - \delta , x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \}$ si ha $f(x) > M$.
$lim_(x -> x_0) f(x) = -oo$ se $\forall M > 0$, $\exists \delta > 0$ tale che $\forall x \in (x_0 - \delta , x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \}$ si ha $f(x) < - M$.
Ti consiglio di lasciare perdere i valori assoluti in questo caso...
$lim_(x -> x_0) f(x) = -oo$ se $\forall M > 0$, $\exists \delta > 0$ tale che $\forall x \in (x_0 - \delta , x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \}$ si ha $f(x) < - M$.
Ti consiglio di lasciare perdere i valori assoluti in questo caso...
Intanto vi ringrazio per le risposte
Dunque seguendo il consiglio di Seneca,dovrei lasciar perdere i valori assoluti che potrebbero complicarmi la vita..ma perchè su quel sito che ho postato invece nello svolgimento è presente il valore assoluto?
La presenza o meno del valore assoluto è fondamentale affinchè io possa fare il sistema ed ottenre un intorno di soluzioni che abbiano un certo "range". Omettendolo la situazione cambia. Forse non ho ben capito...
Io vorrei avere delle regole ben precise che mi permettano di risolvere e determinare i ilimiti usando la definizione in tutti e 4 i casi conosciuti. Vorrei sapere come comportarmi. L'esempio postato da Seneca è ok,e per gli altri casi??
Dunque seguendo il consiglio di Seneca,dovrei lasciar perdere i valori assoluti che potrebbero complicarmi la vita..ma perchè su quel sito che ho postato invece nello svolgimento è presente il valore assoluto?
La presenza o meno del valore assoluto è fondamentale affinchè io possa fare il sistema ed ottenre un intorno di soluzioni che abbiano un certo "range". Omettendolo la situazione cambia. Forse non ho ben capito...
Io vorrei avere delle regole ben precise che mi permettano di risolvere e determinare i ilimiti usando la definizione in tutti e 4 i casi conosciuti. Vorrei sapere come comportarmi. L'esempio postato da Seneca è ok,e per gli altri casi??
@Plepp : tranqui! Allora il valore assoluto si usa nel caso in cui non venga specificato se si tratta di + o - infinito! ci avevo pensato anche io infatti.....se me lo confermate sono felice 
Ho capito da dove nasce il tuo dubbio. Nel primo link trovi che $lim_(x -> 2) 2/(5 x - 10) = oo$. Purtroppo questa scrittura è da prendere con le pinze, dal momento che, stando alle 2 definizioni che ti ho fornito io, è falsa.
Infatti in un intorno destro di $2$ vale la seconda def. che ti ho dato e in un intorno sinistro di $2$ sussiste la prima (a parole: a sinistra di $2$ la funzione tende a $-oo$, mentre a destra di $2$ a $+oo$); in un intorno completo del punto $2$, invece, è vero che la funzione "diverge" ma diverge positivamente da una parte e negativamente dall'altra e quindi diverge "in modulo" (infatti nota che $oo$ non è inteso come $+oo$ in questo caso).
Con le definizioni di limite che ti ho dato il limite del link non esiste, per quanto ti ho appena spiegato.
Infatti in un intorno destro di $2$ vale la seconda def. che ti ho dato e in un intorno sinistro di $2$ sussiste la prima (a parole: a sinistra di $2$ la funzione tende a $-oo$, mentre a destra di $2$ a $+oo$); in un intorno completo del punto $2$, invece, è vero che la funzione "diverge" ma diverge positivamente da una parte e negativamente dall'altra e quindi diverge "in modulo" (infatti nota che $oo$ non è inteso come $+oo$ in questo caso).
Con le definizioni di limite che ti ho dato il limite del link non esiste, per quanto ti ho appena spiegato.
Credo di aver capito,dunque in sostanza è meglio se prendo esercizi altrove.
Laddove non venisse specificato se si tratta di + o - infinito allora farò uso del valore assoluto.
In tutti gli altri casi seguirò ciò che già so e che Seneca ha cortesemente ribadito
Grazie..spero di aver capito!
Laddove non venisse specificato se si tratta di + o - infinito allora farò uso del valore assoluto.
In tutti gli altri casi seguirò ciò che già so e che Seneca ha cortesemente ribadito
Grazie..spero di aver capito!
Nel caso avessi altri problemi, torna a postare...
"Seneca":
Nel caso avessi altri problemi, torna a postare...
Detto fatto,mi è sorto un altro dubbio riguardando gli esercizi a questo link http://www.matepratica.info/2012/02/limite-infinito-per-x-che-tende-ad-un.html
in particolare mi riferisco al primo ed al secondo esercizio: la x nel primo caso tende a 3/2 e non è specificato quindi se da destra o sinistra. A rigor di logica dovrei usare il valore assoluto,mentre ciò non accadee!!
Stessa cosa per l'esercizio num.2 dove la x tende ad 1 senza che venga specificato se da destra o sinistra ed il v.a. non è utilizzato.
Sapete dirmi il perchè?? In entrambi i casi che ho riportato,il limite tende -oo ,questo per caso influisce ??
Grazie mille
Lascia perdere quel sito. 
Comunque il valore assoluto abbiamo stabilito che non va messo (la definizione che devi verificare è la II che ti ho scritto qui).
Nota che, differentemente dall'esercizio precedente, il denominatore NON cambia di segno in un intorno del punto $3/2$. Quindi i limiti sia destro, che sinistro in $3/2$ sono $-oo$.
Comunque il valore assoluto abbiamo stabilito che non va messo (la definizione che devi verificare è la II che ti ho scritto qui).
Nota che, differentemente dall'esercizio precedente, il denominatore NON cambia di segno in un intorno del punto $3/2$. Quindi i limiti sia destro, che sinistro in $3/2$ sono $-oo$.
A rigor di logica dovrei usare il valore assoluto,mentre ciò non accadee
E perché? Quale sarebbe il ragionamento che ti porta a dire questo?
Per definizione, se $x_0\in RR$,
\[\lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty\iff \Big[\forall M>0,\ \exists \delta>0:\ \forall x \in \text{dom}\, f,\ |x-x_0|<\delta,\ \text{si ha}\ f(x)<-M \Big]\]
Il sito l'ho lasciato perdere solo che mi ha confuso molto le idee riguardo la questione del valore assoluto.
Da definizione non lo userò più.
Una domanda stupida: ora però avrò una singola soluzione.. prima usando il valore assoluto ne avevo due e quindi determinavo l'intorno. Ammetto di non avere le idee chiarissime a riguardo
Vi ringrazio per i chiarimenti ma mi domando perchè ci sia gente che ne sa poco e addirittura gestisce un sito di matematica confondendo i poveri studenti !
Meno male che mi avete aiutata voi altrimenti...
Da definizione non lo userò più.
Una domanda stupida: ora però avrò una singola soluzione.. prima usando il valore assoluto ne avevo due e quindi determinavo l'intorno. Ammetto di non avere le idee chiarissime a riguardo
Vi ringrazio per i chiarimenti ma mi domando perchè ci sia gente che ne sa poco e addirittura gestisce un sito di matematica confondendo i poveri studenti !
Meno male che mi avete aiutata voi altrimenti...
Una domanda stupida: ora però avrò una singola soluzione.. prima usando il valore assoluto ne avevo due e quindi determinavo l'intorno. Ammetto di non avere le idee chiarissime a riguardo
Scusami, ma continuo a non capire le tue perplessità.
Dimostriamo, utilizzando la definizione, che $f(x):=1/x^2\to +\infty$ per $x\to 0$. Dobbiamo dimostrare che, comunque si fissi un numero positivo $M$, è possibile determinare un $\delta>0$ tale che, per tutti gli $x$ che stanno nel dominio di $f$ (i.e. $RR\setminus\{0\}$) e che distano da $x_0=0$ meno di $\delta$ (ovvero tutti gli $x$ tali che $|x-x_0|<\delta$), si ha $f(x)>M$. Detto altrimenti, vogliamo dimostrare che
\[\forall M>0,\ \exists \delta>0:\ \forall x\in \mathbb{R}\setminus\{0\},\ |x-0|<\delta,\ \text{si ha}\ \dfrac{1}{x^2}>M\]
Fissiamo dunque un numero $M>0$. Se riusciamo a dimostrare che la disequazione
\[\dfrac{1}{x^2}>M\]
è verificata in un intorno di $x_0=0$, abbiamo finito. Si ha
\[\dfrac{1}{x^2}>M\iff -\sqrt{\dfrac{1}{M}}
\[|x-0|<\sqrt{\dfrac{1}{M}}\]
Abbiamo finito: $\sqrt{\frac{1}{M}}$ è il nostro $\delta$.
Ok, ho le idee leggermente più chiare ma non del tutto...
In quel caso ho x che è compresa tra due valori, che son venuti fuori dal fatto che x è un quadrato, giusto?
Nel caso di un esercizio come questo:
2 /(5x-10)=oo con x->2
che è un esercizio di cui abbiamo già parlato, come mi devo muovere
Grazie mille per la disponibilità e scusate per la mia ignoranza, un pochino me ne vergogno
In quel caso ho x che è compresa tra due valori, che son venuti fuori dal fatto che x è un quadrato, giusto?
Nel caso di un esercizio come questo:
2 /(5x-10)=oo con x->2
che è un esercizio di cui abbiamo già parlato, come mi devo muovere
Grazie mille per la disponibilità e scusate per la mia ignoranza, un pochino me ne vergogno
Il limite $lim_(x -> 2) 2/( 5 x - 10 )$ non esiste: infatti (1) $lim_(x -> 2^-) 2/( 5 x - 10 ) = -oo$ e (2) $lim_(x -> 2^+) 2/( 5 x - 10 ) = +oo$
Grazie!! Piano piano ci sto capendo qualcosa
P.S.: A costo di sembrare pedante, segnalo a Silvietta91 che la definizione di limite non consente affatto di calcolare il limite di un'espressione.
Essa consente unicamente di verificare se un dato valore \(l\) nell'insieme ampliato dei numeri reali (cioé \(\hat{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}\)) è oppure non è il limite di una data espressione.
In altre parole, il calcolo del limite va sempre fatto per altra via e non può mai essere fatto ricorrendo unicamente alla definizione.
Essa consente unicamente di verificare se un dato valore \(l\) nell'insieme ampliato dei numeri reali (cioé \(\hat{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}\)) è oppure non è il limite di una data espressione.
In altre parole, il calcolo del limite va sempre fatto per altra via e non può mai essere fatto ricorrendo unicamente alla definizione.
"gugo82":
P.S.: A costo di sembrare pedante, segnalo a Silvietta91 che la definizione di limite non consente affatto di calcolare il limite di un'espressione.
Essa consente unicamente di verificare se un dato valore \(l\) nell'insieme ampliato dei numeri reali (cioé \(\hat{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}\)) è oppure non è il limite di una data espressione.
In altre parole, il calcolo del limite va sempre fatto per altra via e non può mai essere fatto ricorrendo unicamente alla definizione.
Questo è chiaro,il problema mio era trovare e definire un intorno valido!! Quindi nel caso di limite con x che tende ad un numero finito(dove non specificato se da destra o sinistra),devo prima verificare l'intorno destro e successivamente il sinistro. Questo perchè altrimenti non esisterebbe..come specificato più volte da Seneca.
Mi scuso per non essermi spiegata bene!
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