Calcolare due integrali un pò particolari
Salve a tutti...
non riesco a risolvere questi due integrali....
spero che qualcuno mi dia una mano....
$ int dx/(x^2+3)^4 $
$ introot(3)(1+x^2) /sqrt(x)dx $
grazie infinite e scusate il disturbo...
Buona serata!!!!
non riesco a risolvere questi due integrali....
spero che qualcuno mi dia una mano....
$ int dx/(x^2+3)^4 $
$ introot(3)(1+x^2) /sqrt(x)dx $
grazie infinite e scusate il disturbo...
Buona serata!!!!
Risposte
Per il primo, prova la sostituzione
$$x = \sqrt{3} sinh (t) $$
$$dx = \sqrt{3} cosh (t) dt $$
E usa le proprietà dei seni e coseni iperbolici.
Per il secondo, prova la sostituzione
$$\sqrt(x) = t$$
$$ \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 dt $$
Fammi sapere come va
$$x = \sqrt{3} sinh (t) $$
$$dx = \sqrt{3} cosh (t) dt $$
E usa le proprietà dei seni e coseni iperbolici.
Per il secondo, prova la sostituzione
$$\sqrt(x) = t$$
$$ \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 dt $$
Fammi sapere come va
Il primo integrale lo calcolato per iterazione...
$ int dx/(x^2+3)^4 $
se n=0 si ha:
$ int dx=x+c $
per n=1 sia ha:
$ int 1/(x^2+3)dx=int1/(x^2+(sqrt(3))^2 )dx=1/sqrt(3)arctgx/sqrt(3)+C $
per $ n>=2 $
$ 1/3int3/(x^2+3)^ndx=1/3int(3+x^2-x^2)/(x^2+3)^ndx= $
$ 1/3intdx/(x^2+3)^(n-1)-1/3intx^2/(x^2+3)^n= $
$ 1/3int(x^2)/(x^2+3)^ndx=1/6int2x(x^2+3)^-nxdx $
integriamoper parti
$ g'(x)=2x(x^2+3)^-n $ $ ;f(x)=x $
$ g(x)=(x^2+3)^(-n+1)/(-n+1) $ $ ;f'(x)=1 $
Otteniamo
$ 1/6[(x^2+3)^(-n+1)/(1-n)*x-int(x^2+3)^(-n+1)/(1-n)dx] $
$ 1/6[(x^2+3)^(-n+1)/(1-n)*x-1/(1-n)int(x^2+3)^(-n+1)dx] $
$ 1/6[(x^2+3)^(-n+1)/(1-n)*x-1/(1-n)int1/(x^2+3)^(n-1)dx] $
$ 1/(6-6n)*(x/(x^2+3)^(n-1))-1/(6-6n)int1/(x^2+3)^(n-1)dx $
$ 1/3I(n-1)-1/(6-6n)*(x/(x^2+3)^(n-1))-1/(6-6n)I(n-1) $
e mettendo in evidenza $ I(n-1) $ si ottiene
$ I(n)=I(n-1)[(3-2n)/(3(2-2n))]-1/(6-6n)*x/(x^2+3)^(n-1) $
Il secondo integrale invece non vuole proprio uscire...
Infatti come hai detto tu...
$ introot(3)(1+x^2)/sqrt(x)dx $
moltiplichiamo e dividiamo per 2
$ 2introot(3)(1+x^2)/(2sqrt(x))dx $
posto:
$ t=sqrt(x);dt=1/(2sqrt(x))dx $
mi viene:
$ 2introot(3)(1+t^4)dt $
e poi....
$ int dx/(x^2+3)^4 $
se n=0 si ha:
$ int dx=x+c $
per n=1 sia ha:
$ int 1/(x^2+3)dx=int1/(x^2+(sqrt(3))^2 )dx=1/sqrt(3)arctgx/sqrt(3)+C $
per $ n>=2 $
$ 1/3int3/(x^2+3)^ndx=1/3int(3+x^2-x^2)/(x^2+3)^ndx= $
$ 1/3intdx/(x^2+3)^(n-1)-1/3intx^2/(x^2+3)^n= $
$ 1/3int(x^2)/(x^2+3)^ndx=1/6int2x(x^2+3)^-nxdx $
integriamoper parti
$ g'(x)=2x(x^2+3)^-n $ $ ;f(x)=x $
$ g(x)=(x^2+3)^(-n+1)/(-n+1) $ $ ;f'(x)=1 $
Otteniamo
$ 1/6[(x^2+3)^(-n+1)/(1-n)*x-int(x^2+3)^(-n+1)/(1-n)dx] $
$ 1/6[(x^2+3)^(-n+1)/(1-n)*x-1/(1-n)int(x^2+3)^(-n+1)dx] $
$ 1/6[(x^2+3)^(-n+1)/(1-n)*x-1/(1-n)int1/(x^2+3)^(n-1)dx] $
$ 1/(6-6n)*(x/(x^2+3)^(n-1))-1/(6-6n)int1/(x^2+3)^(n-1)dx $
$ 1/3I(n-1)-1/(6-6n)*(x/(x^2+3)^(n-1))-1/(6-6n)I(n-1) $
e mettendo in evidenza $ I(n-1) $ si ottiene
$ I(n)=I(n-1)[(3-2n)/(3(2-2n))]-1/(6-6n)*x/(x^2+3)^(n-1) $
Il secondo integrale invece non vuole proprio uscire...
Infatti come hai detto tu...
$ introot(3)(1+x^2)/sqrt(x)dx $
moltiplichiamo e dividiamo per 2
$ 2introot(3)(1+x^2)/(2sqrt(x))dx $
posto:
$ t=sqrt(x);dt=1/(2sqrt(x))dx $
mi viene:
$ 2introot(3)(1+t^4)dt $
e poi....
Mi sono permesso di pubblicare la soluzione del primo integrale in modo tale che ne possano usufruire tutti!!!!
Riguardo l'integrale ancora da risolvere... Non ne sono riuscito a venire a capo con tecniche "standard". Wolfram Alpha riporta come soluzione una "funzione speciale" di sicuro non alla portata di corsi di base di Analisi Matematica.
Una domanda: da che esercizio è tratto quell'integrale? perchè ho il sospetto che derivi da un esercizio dove tale risultato analitico non è richiesto.
Una domanda: da che esercizio è tratto quell'integrale? perchè ho il sospetto che derivi da un esercizio dove tale risultato analitico non è richiesto.
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