Calcolare dominio funzione
Salve, ho una domanda che può sembrarvi stupida. Qual è il dominio della funzione:
$ y=x^x $
sapreste motivare la vostra risposta?
$ y=x^x $
sapreste motivare la vostra risposta?
Risposte
Quella funzione è la composizione di una funzione potenza e di una funzione esponenziale, quindi devi mettere a sistema i rispettivi domini: per la funzione potenza non hai problemi, mentre per la funzione esponenziale... ??
Scusa Raptorista, come le comporresti tu?
Se condo me è più facile "capire" quale sia il dominio scrivendo la funzione così
$y=x^x=e^{\log(x^x)}=e^{x\cdot \log x}$
$y=x^x=e^{\log(x^x)}=e^{x\cdot \log x}$
@Seneca: in effetti ho usato il termine "composizione" troppo in scioltezza, però posso arrampicarmi sui vetri componendo \(g \circ f\) con \(f(x) = a^x\) con \(a > 0\) e \(g(t) = t^{\log_{a}f(x)}\) 
XD
@ciampax: ho evitato di proposito quella risposta perché ricordo che l'identità esponenziale vale solo se la funzione che poi va a trovarsi dentro il logaritmo è sempre positiva [in modo da da dar senso al logaritmo] e quindi non mi sembrava che risolvesse la questione.
EDIT: ho corretto \(g(t) = x^{\log_{a}f(x)}\) in \(g(t) = t^{\log_{a}f(x)}\)
XD@ciampax: ho evitato di proposito quella risposta perché ricordo che l'identità esponenziale vale solo se la funzione che poi va a trovarsi dentro il logaritmo è sempre positiva [in modo da da dar senso al logaritmo] e quindi non mi sembrava che risolvesse la questione.
EDIT: ho corretto \(g(t) = x^{\log_{a}f(x)}\) in \(g(t) = t^{\log_{a}f(x)}\)
Ciao M.
Continua a non tornarmi qualcosa...
"Raptorista":
@Seneca: in effetti ho usato il termine "composizione" troppo in scioltezza, però posso arrampicarmi sui vetri componendo \(g \circ f\) con \(f(x) = a^x\) con \(a > 0\) e \(g(t) = x^{\log_{a}f(x)}\)
Continua a non tornarmi qualcosa...
@Seneca: se è per la \(x\) che mi era scappata nella definizione di \(g(t)\), ho corretto 
"Raptorista":
@Seneca: se è per la \(x\) che mi era scappata nella definizione di \(g(t)\), ho corretto
No, non era quello. Forse non so più trovare il composto di due funzioni, ma non dovrebbe venire $g(f(x)) = a^(x^(log_a (x)) )$ ?
No, in realtà sono io che non dovrei scrivere sul forum dopo una certa ora xD
Quando avevo scritto \(g \circ f\) avevo in mente una cosa del tipo \(t^{\log_a f(x)} = t^{\log_a a^x} = t^x\) però questa chiaramente non è una composizione di funzioni
Va beh, sta venendo su un casino enorme per una domanda che in realtà è semplicissima e che si risolve prendendo la definizione di funzione esponenziale XD
Chiedo scusa per il casino che ho generato
Quando avevo scritto \(g \circ f\) avevo in mente una cosa del tipo \(t^{\log_a f(x)} = t^{\log_a a^x} = t^x\) però questa chiaramente non è una composizione di funzioni
Va beh, sta venendo su un casino enorme per una domanda che in realtà è semplicissima e che si risolve prendendo la definizione di funzione esponenziale XD
Chiedo scusa per il casino che ho generato
Ciao a tutti.. pendo di potervi essere in qualche modo di aiuto fornendovi la risposta che ha dato il mio prof di analisi.
Lui ha fatto in questo modo (come peraltro già scritto da voi)
$ y=x^x => y=e^log(x^x) => y=e^(xlogx) $ (1)
e dunque come dominio troviamo $ x>0 $ .
Poi il prof ha detto che nel calcolo del dominio di una funzione, non bisogna apportare modifiche di carattere algebrico al testo della funzione prima di calcolarne il dominio, perchè in questo modo uscirebbe il dominio della nuova funzione e non della vecchia (se pur algebricamente identiche).. non so dunque come operare: quello che abbiamo fatto nella (1) non sono midifiche di carattere algebrico?
io personalmente, avevo provato dare una soluzione. Avevo trovato come dominio l'insieme
$ RR^+ uu ZZ^- $
il che mi sembra fattibile.. voi che ne dite?
Lui ha fatto in questo modo (come peraltro già scritto da voi)
$ y=x^x => y=e^log(x^x) => y=e^(xlogx) $ (1)
e dunque come dominio troviamo $ x>0 $ .
Poi il prof ha detto che nel calcolo del dominio di una funzione, non bisogna apportare modifiche di carattere algebrico al testo della funzione prima di calcolarne il dominio, perchè in questo modo uscirebbe il dominio della nuova funzione e non della vecchia (se pur algebricamente identiche).. non so dunque come operare: quello che abbiamo fatto nella (1) non sono midifiche di carattere algebrico?
io personalmente, avevo provato dare una soluzione. Avevo trovato come dominio l'insieme
$ RR^+ uu ZZ^- $
il che mi sembra fattibile.. voi che ne dite?
Il tuo prof ha ragione sulle modifiche. Infatti la funzione $x^2/x$ ha dominio $x\ne 0$, diversamente da $x$ che è definita su tutti i reali!
Nel tuo caso non è necessario fare nulla se non ricordare che la funzione esponenziale $a^x$ richiede per DEFINIZIONE $a>0$ (che senso avrebbe infatti una cosa del tipo $(-2)^x$?! Pensa a quando ad esempio $x$ prende valore pari!). Non serve altro.
Paola
Nel tuo caso non è necessario fare nulla se non ricordare che la funzione esponenziale $a^x$ richiede per DEFINIZIONE $a>0$ (che senso avrebbe infatti una cosa del tipo $(-2)^x$?! Pensa a quando ad esempio $x$ prende valore pari!). Non serve altro.
Paola
@prime_number: il motivo per cui si è scatenato il caos della pagina precedente è che non volevo fornire la definizione di funzione esponenziale XD
XD
in effetti se inseriamo la funzione $ (-2)^(x) $ in un programma di calcolo grafico, esso non ci disegna nulla..
ma, scusate la mia disastrosa ignoranza, perchè $ (-2)^(x) $ non avrebbe in alcun caso senso?
ma, scusate la mia disastrosa ignoranza, perchè $ (-2)^(x) $ non avrebbe in alcun caso senso?
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