Calcolare di un limte.

[galles90]

Buonasera,

Vi volevo chiedere se i passaggi seguenti sono corretti per lo svolgimento:

sia $lim_{x to infty} sqrt(x)(3sqrt(x+1)-3sqrt(x-1))$

$sqrt(x)(3sqrt(x+1)-3sqrt(x-1))=sqrt(x)3sqrt(x+1)(1-frac{3sqrt(x-1)}{3sqrt(x+1)})=sqrt(x)3sqrt(x+1)(1-3sqrt(frac{(x-1)}{(x+1)}))=sqrt(x)3sqrt(x+1)(1-3sqrt(frac{(x-1+1-1)}{x+1)})=sqrt(x)3sqrt(x+1)(1-3sqrt(1-frac{2}{x+1)})=6sqrt{x^5}(1-3sqrt(1-frac{2}{x+1)})=6sqrt{x^5}-6sqrt{x^5}(3sqrt(frac{2}{x+1)})$

$lim_{x to infty} sqrt(x)(3sqrt(x+1)-3sqrt(x-1))=lim_{x to infty}6sqrt{x^5}-lim_{x to infty}6sqrt{x^5}(3sqrt(1-frac{2}{x+1)})=lim_{x to infty}6sqrt{x^5}-lim_{x to infty}6sqrt{x^5}lim_{x to infty}(3sqrt(1-frac{2}{x+1)})$

ora $lim_{x to infty}(3sqrt(1-frac{2}{x+1)})=1$

allora $lim_{x to infty}6sqrt{x^5}-lim_{x to infty}6sqrt{x^5}lim_{x to infty}(3sqrt(1-frac{2}{x+1)})=lim_{x to infty}6sqrt{x^5}-6sqrt{x^5}=lim_{x to infty} 0=0.$

Cordiali saluti

[pilloeffe]

Ciao galles90,

Hai fatto un po' di confusione, il limite è molto più semplice:

$ lim_{x to +\infty} sqrt(x)(3sqrt(x+1)-3sqrt(x-1)) = lim_{x to +\infty} 3sqrt(x)(sqrt(x+1)-sqrt(x-1)) = $
$ = lim_{x to +\infty} 3sqrt(x) frac{(sqrt(x+1)-sqrt(x-1))(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))}{sqrt(x+1)+sqrt(x-1)} = $
$ = lim_{x to +\infty} 3sqrt(x) frac{2}{sqrt(x+1)+sqrt(x-1)} = lim_{x to +\infty} frac{6 sqrt(x)}{sqrt(x+1)+sqrt(x-1)} = $
$ = lim_{x to +\infty} frac{6}{sqrt(1 + 1/x)+sqrt(1 -1/x)} = 3 $

[galles90]

Ciao pilloeffe,

vedi che il tre è l'esponente del radicale, non un fattore. Ora però non ti arrabbiare !!

[pilloeffe]

"galles90":Ora però non ti arrabbiare !!

E perché, per così poco?
Magari però la prossima volta scrivilo correttamente:

$ lim_{x \to +\infty} sqrt{x}(root[3]{x + 1} - root[3]{x - 1}) = 0 $

 $ lim_{x \to +\infty} sqrt{x}(root[3]{x + 1} - root[3]{x - 1}) = 0 $ 

Per dimostrare che il limite proposto risulta $ 0 $ puoi fare uso della ben nota identità $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $ ove nel caso in esame $a := root[3]{x + 1} $ e $b := root[3]{x - 1} $

[galles90]

Grazie