Calcolare area,divisione in insiemi semplici
salve non riesco a capire come risolvere in generale un esercizio di questo tipo:
$ Omega ={(x,y)in R^2:x^2+y^2<1,y>1/4sqrt(4-x^2) } $
comincio con il fare il disegno molto semplice,Il dominio suggerisce di risolvere l’esercizio usando il cambiamento di variabili in coordinate polari.
riscrivo il nuovo insieme s: $ ={(rho ,Theta )in [0,+oo)*[0,2pi ]:rho ^2<1,rho sinTheta >1/4sqrt(4-rho ^2cos^2Theta ) } $
da qui non so più continuare in quanto il prof. dice sempre di dividere l'insieme in insiemi semplici trovando un certo $ Theta $ segnato, per poi andare a riscrivere il nuovo insieme come unione di più insiemi per usarli come estremi dell'integrale doppio.
grazie mille per l'aiuto!
$ Omega ={(x,y)in R^2:x^2+y^2<1,y>1/4sqrt(4-x^2) } $
comincio con il fare il disegno molto semplice,Il dominio suggerisce di risolvere l’esercizio usando il cambiamento di variabili in coordinate polari.
riscrivo il nuovo insieme s: $ ={(rho ,Theta )in [0,+oo)*[0,2pi ]:rho ^2<1,rho sinTheta >1/4sqrt(4-rho ^2cos^2Theta ) } $
da qui non so più continuare in quanto il prof. dice sempre di dividere l'insieme in insiemi semplici trovando un certo $ Theta $ segnato, per poi andare a riscrivere il nuovo insieme come unione di più insiemi per usarli come estremi dell'integrale doppio.
grazie mille per l'aiuto!
Risposte
Benvenuto! 
Innanzitutto il problema è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate e \(y>\frac{1}{4}\sqrt{4-x^2}\geq0\); allora puoi considerare solamente il primo quadrante e perciò \(\Theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right]\) al più. Al crescere di \(\Theta\) non incontri il tuo insieme prima dell'intersezione tra la semiellissi e la circonferenza: definito tale punto d'intersezione, è univoco l'angolo. Di lì in poi \(\Theta\) crescente continua a spazzare l'insieme e si arriva all'estremo superiore (\(\frac{\pi}{2}\)).
Essendo \(\rho\in[0,+\infty)\), \(\rho^2<1\implies0\leq\rho<1\) e questo assicura di stare al di sotto della circonferenza unitaria, cioè dentro il cerchio. Adesso bisogna imporre che, oltre a stare dentro il cerchio, si stia pure al di fuori della semiellisse positiva; si risolve facilmente dalla disequazione \(4\rho\sin{\Theta}>\sqrt{4-(\rho\cos{\Theta})^2}\), considerando che ora \(\sin{\Theta}>0\).
Non fosse chiaro, guardiamo assieme più nel dettaglio
Innanzitutto il problema è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate e \(y>\frac{1}{4}\sqrt{4-x^2}\geq0\); allora puoi considerare solamente il primo quadrante e perciò \(\Theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right]\) al più. Al crescere di \(\Theta\) non incontri il tuo insieme prima dell'intersezione tra la semiellissi e la circonferenza: definito tale punto d'intersezione, è univoco l'angolo. Di lì in poi \(\Theta\) crescente continua a spazzare l'insieme e si arriva all'estremo superiore (\(\frac{\pi}{2}\)).
Essendo \(\rho\in[0,+\infty)\), \(\rho^2<1\implies0\leq\rho<1\) e questo assicura di stare al di sotto della circonferenza unitaria, cioè dentro il cerchio. Adesso bisogna imporre che, oltre a stare dentro il cerchio, si stia pure al di fuori della semiellisse positiva; si risolve facilmente dalla disequazione \(4\rho\sin{\Theta}>\sqrt{4-(\rho\cos{\Theta})^2}\), considerando che ora \(\sin{\Theta}>0\).
Non fosse chiaro, guardiamo assieme più nel dettaglio
grazie mille per l'aiuto,purtroppo non riesco ancora a capire delle parti di esercizio.
sono arrivato anche io proprio in questo punto,soltanto che da quì non riesco ad andare più avanti in quanto non capisco come determinare gli estremi dell'integrale doppio per poi calcolare l'area.
penso che se guardassimo un pò più nel dettaglio non sarebbe male
grazie ancora per la disponibilità!
sono arrivato anche io proprio in questo punto,soltanto che da quì non riesco ad andare più avanti in quanto non capisco come determinare gli estremi dell'integrale doppio per poi calcolare l'area.
penso che se guardassimo un pò più nel dettaglio non sarebbe male
grazie ancora per la disponibilità!
Non è ben chiaro il tuo dubbio
Gli estremi dell'integrale doppio sono proprio gli estremi dell'intervallo d'esistenza che abbiamo cercato e trovato per \(\Theta\) e \(\rho\), cioè \(\Theta\) va dall'angolo associato all'intersezione tra la semiellissi e la circonferenza fino a \(\frac{\pi}{2}\), mentre \(\rho\) va dalla condizione risultante dall'ultima disequazione fino ad \(1\).
Cosa non torna?
Gli estremi dell'integrale doppio sono proprio gli estremi dell'intervallo d'esistenza che abbiamo cercato e trovato per \(\Theta\) e \(\rho\), cioè \(\Theta\) va dall'angolo associato all'intersezione tra la semiellissi e la circonferenza fino a \(\frac{\pi}{2}\), mentre \(\rho\) va dalla condizione risultante dall'ultima disequazione fino ad \(1\).
Cosa non torna?
anche io avevo fatto questo ragionamento,ma il prof. lo svolge in una maniera diversa che non riesco a capire in quanto divide l'insieme s come unione di tre insiemi:
s1= $ {0<= Theta <= bar(Theta ) ,0<= rho <= 1} $
s2= $ {bar(Theta ) <= Theta <= pi -bar(Theta ) ,0<= rho <= sqrt(4/(1+15sin^2Theta) $ }
s3= $ {pi -bar(Theta ) <= Theta <= 2pi ,0<= rho <= 1} $
questi sono gli estremi che non riesco a capire come stabilirli,spero diessermi spiegato
s1= $ {0<= Theta <= bar(Theta ) ,0<= rho <= 1} $
s2= $ {bar(Theta ) <= Theta <= pi -bar(Theta ) ,0<= rho <= sqrt(4/(1+15sin^2Theta) $ }
s3= $ {pi -bar(Theta ) <= Theta <= 2pi ,0<= rho <= 1} $
questi sono gli estremi che non riesco a capire come stabilirli,spero diessermi spiegato
Sei sicuro di aver riportato \(\Omega\) correttamente? Pare proprio che lui stia calcolando l'area dell'insieme \(\Omega\) se esso avesse la seconda disequazione con verso invertito
purtroppo si l'insieme è scritto bene.inoltre lui considera $ Theta $ sulle ascisse e $ rho $ sulle ordinate
Controlla, perché si ha \(S_1\cup S_2\cup S_3=\left\{(x,y)\in\mathbb{R^2}\>\middle|\>x^2+y^2<1,y<\frac{1}{4}\sqrt{4-x^2}\right\}\) o, alternativamente, l'unione dei tre insiemi non è \(\Omega\) per nessun valore di \(\overline{\Theta}\). Siamo d'accordo?
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