Calcola lintegrale |x| e^x
Ciao
Devo calcolare l'integrale
Io so che x^ 7 cosx è simmetrica quindi L integrale e zero
Mentre la seconda ho provato a farla per parti integrando e^x
Derivando |x|
Così facendo a me esce e^2 + 3e^(-2)
Ma dovrebbe uscire
scusatemi se ho messo la foto ma è la prima volta che scrivo un messaggio era non so come si creano gli integrali ecc
Grazie mille in anticipo
Devo calcolare l'integrale
Io so che x^ 7 cosx è simmetrica quindi L integrale e zero
Mentre la seconda ho provato a farla per parti integrando e^x
Derivando |x|
Così facendo a me esce e^2 + 3e^(-2)
Ma dovrebbe uscire
scusatemi se ho messo la foto ma è la prima volta che scrivo un messaggio era non so come si creano gli integrali ecc
Grazie mille in anticipo
Risposte
L'integrale della prima parte fa 0 per il motivo che sai.
Per la seconda parte scomponi l'integrale per le $x>0$ e $x<0$ :
$ int_(0)^(2) xe^x dx + int_(-2)^(0) -xe^x dx $
$ int_(0)^(2) xe^x dx $ per parti ottieni $e^x(x-1)$ calcolato tra 0 e 2
$ int_(0)^(2) xe^x dx =e^2+1$
$ int_(-2)^(0) -xe^x dx = int_(0)^(-2) x*e^xdx $, da calcolare questa volta tra 0 e -2
$ int_(0)^(-2) x*e^xdx = e^(-2)(-3)+1$
Sommando i due integrali ottieni il risultato finale
Per la seconda parte scomponi l'integrale per le $x>0$ e $x<0$ :
$ int_(0)^(2) xe^x dx + int_(-2)^(0) -xe^x dx $
$ int_(0)^(2) xe^x dx $ per parti ottieni $e^x(x-1)$ calcolato tra 0 e 2
$ int_(0)^(2) xe^x dx =e^2+1$
$ int_(-2)^(0) -xe^x dx = int_(0)^(-2) x*e^xdx $, da calcolare questa volta tra 0 e -2
$ int_(0)^(-2) x*e^xdx = e^(-2)(-3)+1$
Sommando i due integrali ottieni il risultato finale
Allora:
\[ \int_{-2}^{2} \left ( x^7 \cos (x) + |x| e^x \right ) \; \text{d} x \]
Come hai detto tu:
\[ \int_{-2}^{2} x^7 \cos (x) \; \text{d} x = 0 \]
perché la funzione \( f(x) = x^7 \cos ( x ) \) è dispari. Attento perché dicendo che è simmetrica non stai affermando la stessa cosa; o meglio, bisogna specificare che è simmetrica rispetto all'origine, per il fatto che è dispari.
Per quanto riguarda l'altro:
\[\begin{aligned} \int_{-2}^{2} |x| e^x \; \text{d} x &= - \int_{-2}^0 x e^x \; \text{d} x + \int_{0}^2 x e^x \; \text{d} x \\ &= -\frac{3}{e^2} + 1 + e^2 + 1 \\ &= 2 - \frac{3}{e^2} + e^2 \end{aligned}\]
\[ \int_{-2}^{2} \left ( x^7 \cos (x) + |x| e^x \right ) \; \text{d} x \]
Come hai detto tu:
\[ \int_{-2}^{2} x^7 \cos (x) \; \text{d} x = 0 \]
perché la funzione \( f(x) = x^7 \cos ( x ) \) è dispari. Attento perché dicendo che è simmetrica non stai affermando la stessa cosa; o meglio, bisogna specificare che è simmetrica rispetto all'origine, per il fatto che è dispari.
Per quanto riguarda l'altro:
\[\begin{aligned} \int_{-2}^{2} |x| e^x \; \text{d} x &= - \int_{-2}^0 x e^x \; \text{d} x + \int_{0}^2 x e^x \; \text{d} x \\ &= -\frac{3}{e^2} + 1 + e^2 + 1 \\ &= 2 - \frac{3}{e^2} + e^2 \end{aligned}\]
Grazie mille
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