Calcola approssimato di un integrale definito
Ho un grande vuoto per quanto riguarda la risoluzione di questo esercizio,qualcuno mi aiuta?
Il testo è il seguente:
calcolare con un errore dell'ordine di 10^-2 il seguente integrale:
$ int_(0)^(1) 1/(16+x^4) dx $
Come procedo?Come faccio a stimare l'errore di un centesimo?
L'unica cosa che mi viene in mente è di usare gli sviluppi di Mac Laurin....ma probabilmente è una stupidagine
Il testo è il seguente:
calcolare con un errore dell'ordine di 10^-2 il seguente integrale:
$ int_(0)^(1) 1/(16+x^4) dx $
Come procedo?Come faccio a stimare l'errore di un centesimo?
L'unica cosa che mi viene in mente è di usare gli sviluppi di Mac Laurin....ma probabilmente è una stupidagine
Risposte
Affatto, è l'idea migliore che potessi avere.
Ah bene,dunque lo sviluppo di $ 1/(16+x^4) $ dovrebbe essere: $ 1/16 - (x^4)/2^8 + (x^8)/2^12 - x^12/2^16 + O(x^13) $
Ma fatto questo non so più come continuare,so che probabilente è una banalità ma non so proprio il metodo con cui procedere....
Ma fatto questo non so più come continuare,so che probabilente è una banalità ma non so proprio il metodo con cui procedere....
Scriviamolo in maniera un po' più generale: si ha
$$\frac{1}{16+x^4}=\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{1+(x/2)^4}=\frac{1}{16}\sum_{k=0}^n (-1)^k\left(\frac{x}{2}\right)^{4k}+R_n(x)$$
dove $R_n$ rappresenta il resto che dovremo maggiorare. Ora
$$\int_0^1\frac{1}{16+x^4}\ dx=\frac{1}{16}\sum_{k=0}^n (-1)^k\int_0^1\left(\frac{x}{2}\right)^{4k}\ dx+R'_n(x)=$$
$$=\frac{1}{16}\sum_{k=0}^n (-1)^k\left[\frac{2}{4k+1}\left(\frac{x}{2}\right)^{4k+1}\right]_0^1+R'_n(x)=\frac{1}{16}\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{1}{2^{4k}(4k+1)}+R'_n(x)$$
Ora, per cercare l'approssimazione voluta, basta determinare per quale $k$ si abbia
$$|\frac{1}{16}\frac{(-1)^k}{2^{4k}(4k+1)}|<10^{-2}$$
ed è facile vedere che già per $k=1$ tale condizione è verificata. Pertanto si ha per il valore dell'integrale
$$\frac{1}{16}\left(1-\frac{1}{80}\right)\approx 0,0617..$$
$$\frac{1}{16+x^4}=\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{1+(x/2)^4}=\frac{1}{16}\sum_{k=0}^n (-1)^k\left(\frac{x}{2}\right)^{4k}+R_n(x)$$
dove $R_n$ rappresenta il resto che dovremo maggiorare. Ora
$$\int_0^1\frac{1}{16+x^4}\ dx=\frac{1}{16}\sum_{k=0}^n (-1)^k\int_0^1\left(\frac{x}{2}\right)^{4k}\ dx+R'_n(x)=$$
$$=\frac{1}{16}\sum_{k=0}^n (-1)^k\left[\frac{2}{4k+1}\left(\frac{x}{2}\right)^{4k+1}\right]_0^1+R'_n(x)=\frac{1}{16}\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{1}{2^{4k}(4k+1)}+R'_n(x)$$
Ora, per cercare l'approssimazione voluta, basta determinare per quale $k$ si abbia
$$|\frac{1}{16}\frac{(-1)^k}{2^{4k}(4k+1)}|<10^{-2}$$
ed è facile vedere che già per $k=1$ tale condizione è verificata. Pertanto si ha per il valore dell'integrale
$$\frac{1}{16}\left(1-\frac{1}{80}\right)\approx 0,0617..$$
GRazie mille ciampax,ora mi è tutto piuttosto chiaro,l'unico punto che non riesco a capire è quello in cui espliciti il polinomio di Maclaurin in serie,cioè non riesco proprio a ricostruire il passagio per cui
$ 1/16*1/(1 + (x/2)^4) = 1/16 sum_(k = 0) (-1)^k(x/2)^(4k) + Rn(x) $
Mi potresti esplicare nel dettaglio i passaggi gentilmente?
$ 1/16*1/(1 + (x/2)^4) = 1/16 sum_(k = 0) (-1)^k(x/2)^(4k) + Rn(x) $
Mi potresti esplicare nel dettaglio i passaggi gentilmente?
Devi usare lo sviluppo di
$$\frac{1}{1+t}=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k t^k$$
sostituendo $t=(x/2)^4$.
$$\frac{1}{1+t}=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k t^k$$
sostituendo $t=(x/2)^4$.
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