$C^1([0,1], \mathbb{R})$ ha dimensione infinita
Dovrei dimostrare che lo spazio vettoriale $C^1([0,1], \mathbb{R})$ ha dimensione infinita. Considero lo spazio vettoriale $P([0,1], \mathbb{R})$ dei polinomi definiti su $[0,1]$. $P([0,1], \mathbb{R})$ è un sottospazio di $C^1([0,1], \mathbb{R})$, dato che tutti i polinomi definiti su $[0,1]$ hanno derivata prima continua, ma non sono le uniche funzioni ad averla. Dunque, se dimostro che $P([0,1], \mathbb{R})$ ha dimensione infinita, allora anche $C^1([0,1], \mathbb{R})$ ha dimensione infinita. Considero il seguente sottinsieme di $P([0,1], \mathbb{R})$
$A_n = \{1, x, x^2, \ldots, x^n\}$
e devo dimostrare che è indipendente. Prendendo $n+1$ costanti $\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$, $A_n$ è indipendente se
$\alpha_0 + \alpha_1 x + \alpha_2 x^2 + \ldots + \alpha_n x^n = O \quad \iff \quad \alpha_0 = \alpha_1 = \ldots = \alpha_n = 0$
Supponiamo per assurdo che $A_n$ non sia indipendente, ovvero che l'uguaglianza sopra sia soddisfatta per costanti $a_i$ non tutte nulle. Sia $x^h$ il termine di grado massimo avente coefficiente non nullo, e sia $\alpha_h$ tale coefficiente, si ottiene allora un'equazione polinomiale di grado $h$ che ha come radici tutti i punti di $[0,1]$, assurdo, perché per il Teorema Fondamentale dell'Algebra quella equazione ha esattamente $h$ radici complesse. Questo vale per ogni $h = 1, 2 \ldots, n$, e quindi, dato che $[0,1]$ ha la potenza del continuo, allora l'insieme $A_n$ è indipendente per ogni $n \in \mathbb{N}$. Dunque $P([0,1], \mathbb{R})$ ha dimensione infinita, pertanto anche $C^1([0,1], \mathbb{R})$ ha dimensione infinita.
Secondo voi può fungere?
Grazie.
$A_n = \{1, x, x^2, \ldots, x^n\}$
e devo dimostrare che è indipendente. Prendendo $n+1$ costanti $\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$, $A_n$ è indipendente se
$\alpha_0 + \alpha_1 x + \alpha_2 x^2 + \ldots + \alpha_n x^n = O \quad \iff \quad \alpha_0 = \alpha_1 = \ldots = \alpha_n = 0$
Supponiamo per assurdo che $A_n$ non sia indipendente, ovvero che l'uguaglianza sopra sia soddisfatta per costanti $a_i$ non tutte nulle. Sia $x^h$ il termine di grado massimo avente coefficiente non nullo, e sia $\alpha_h$ tale coefficiente, si ottiene allora un'equazione polinomiale di grado $h$ che ha come radici tutti i punti di $[0,1]$, assurdo, perché per il Teorema Fondamentale dell'Algebra quella equazione ha esattamente $h$ radici complesse. Questo vale per ogni $h = 1, 2 \ldots, n$, e quindi, dato che $[0,1]$ ha la potenza del continuo, allora l'insieme $A_n$ è indipendente per ogni $n \in \mathbb{N}$. Dunque $P([0,1], \mathbb{R})$ ha dimensione infinita, pertanto anche $C^1([0,1], \mathbb{R})$ ha dimensione infinita.
Secondo voi può fungere?
Grazie.
Risposte
Si secondo me si.
Ok, grazie david_e.
Ottimo!
Più rapidamente puoi invocare il principio d'identità dei polinomi, valido su un campo infinito quale $RR$.
Più rapidamente puoi invocare il principio d'identità dei polinomi, valido su un campo infinito quale $RR$.
Capito, grazie anche a te zorn. 
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