C è uno spazio di banach

[math-votailprof]

Salve ragazzi, mi serve sapere come si dimostra che l'insieme dei numeri complessi C è uno spazio di Banach. la mia idea è questa:

Considero $ (f_n) $ una successione di Cauchy e definisco la norma di f come $ || f || = |f_n - f_m| $ . Ora potrei considerare il fatto che $C = R \times R$ e quindi scrivere $ (f_n) = (a_n + i b_n) $. ma non so come andare avanti, posto che l'idea sia corretta. buio totale...Grazie per qualunque aiuto!

[poncelet]

Solo una conferma. La tua \(f\) è un numero complesso e non una funzione vero?

[math-votailprof]

è un elemento di C...

[dissonance]

"aljabr":Salve ragazzi, mi serve sapere come si dimostra che l'insieme dei numeri complessi C è uno spazio di Banach. la mia idea è questa:

Considero $ (f_n) $ una successione di Cauchy e definisco la norma di f come $ || f || = |f_n - f_m| $ . Ora potrei considerare il fatto che $C = R \times R$ e quindi scrivere $ (f_n) = (a_n + i b_n) $. ma non so come andare avanti, posto che l'idea sia corretta. buio totale...Grazie per qualunque aiuto!

Non si fa così, è tutto sbagliato. Prima definisci la norma e solo dopo consideri le successioni di Cauchy. La norma di $CC$ è già definita, si tratta del cosiddetto modulo di un numero complesso: $| a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$. Quindi è rispetto a questa che devi ragionare.