Buchi

[Inmytime]

ho sentito dire che l'insieme dei razionali presenta "buchi di ampiezza infinitesima dq". cosa vuol dire esattamente? forse equivale a dire che l'insieme dei razionali non è completo? inoltre mi chiedevo cosa succede ai risultati di un processo di misura (successione di cauchy) che non converge in campo razionale, nel suo stato più avanzato: forse si mette a saltare tra un razionale q e il suo "successivo" q+dq? se si, perchè? mi rendo conto che la domanda è molto poco formalizzata, magari ho anche scritto qualche fesseria, ma ci terrei a capire il concetto...

[elgiovo]

Uno tra gli infiniti esempi: la successione $3$, $31/100$, $314/1000$, $31415/10000$...
è una successione di Cauchy di numeri razionali convergente a $pi !in QQ$.

[Nebula2]

...buchi di ampiezza infinitesima dq, il successivo di un razionale....?
dove hai trovato questa notazione?

[spassky]

In effetti è molto strano se le parole sono proprio quelle...
Parlare del successivo, in Q, non ha senso... Figuriamoci introdurre gli infinitesimi dq in un insieme numerabile....

[Inmytime]

dunque, la terminologia dovrebbe essere utilizzata in una branca della logica (che non conosco): questa teoria generalizza le procedure che si usano per introdurre ad esempio l'insieme dei reali a partire da quello dei razionali, l'insieme delle distribuzioni a partire da quello delle funzioni etc. un risultato importante dice più o meno che se per ogni naturale n esiste un entità che verifica una data proposizione dipendente da n, P(n), allora posso teorizzare l'esistenza di un qualcosa che verifica P(n) per ogni n. in questo caso, il successore di un razionale q non è un razionale in senso stretto, ma si può definire perchè l'insieme dei razionali si ottiene a partire da un sottoinsieme discreto di razionali equidistanziati di 1/n, con n intero (in cui è definita una nozione di successore), facendo tendere n ad infinito. mi spiego meglio: se, dato un razionale q, è vero che per ogni n esiste un razionale che verifica

P(n) = è compreso tra q e $q+1/n$

allora esiste un qualcosa che verifica P(n) per ogni n, cioe che è compreso tra q e $q+1/n$ per ogni n: esso evidentemente non è un razionale, è appunto il successivo di q. la distanza tra il successivo di q e q (che andrebbe definita, ma si può interpretare appunto come un buco infinitesimo) è quella che ho chiamato dq. quello che vorrei sapere è
- se ho scritto castronerie (ripeto, non conosco la teoria, ho riportato pari pari quello che ho capito)
- perche questi buchi non fanno convergere i processi di misura
- che differenza c'è tra questi dq e i più famosi differenziali che si introducono in campo reale (che sono ancora buchi, in un certo senso, ma evidentemente più piccoli dei precedenti perchè nella retta reale ci sono più numeri)
comunque, grazie a tutti delle risposte

[Lorenzo Pantieri]

"Inmytime":ho sentito dire che l'insieme dei razionali presenta "buchi di ampiezza infinitesima dq". cosa vuol dire esattamente? forse equivale a dire che l'insieme dei razionali non è completo? inoltre mi chiedevo cosa succede ai risultati di un processo di misura (successione di cauchy) che non converge in campo razionale, nel suo stato più avanzato: forse si mette a saltare tra un razionale q e il suo "successivo" q+dq? se si, perchè? mi rendo conto che la domanda è molto poco formalizzata, magari ho anche scritto qualche fesseria, ma ci terrei a capire il concetto...

Dove l'hai sentito dire? I casi sono due.
1. Ci si riferisce all'analisi non standard di Robinson, i cui quei concetti potrebbero avere un senso, ma non certo espressi in quel modo...
2. Si fanno dei giri di parole sulla completezza di $\RR$ verso l'incompletezza di $\QQ$, e ancora un linguaggio così impreciso ("alla Zichichi", lo definirei) può solo confondere le idee, anziché chiarirle.

Per entrami i punti, cerca sul forum!

Ciao,
L.

[Nebula2]

"Inmytime":dunque, la terminologia dovrebbe essere utilizzata in una branca della logica (che non conosco): questa teoria generalizza le procedure che si usano per introdurre ad esempio l'insieme dei reali a partire da quello dei razionali, l'insieme delle distribuzioni a partire da quello delle funzioni etc. un risultato importante dice più o meno che se per ogni naturale n esiste un entità che verifica una data proposizione dipendente da n, P(n), allora posso teorizzare l'esistenza di un qualcosa che verifica P(n) per ogni n.

non sono sicuro di aver capito bene, ma non penso sia vero, perciò non penso valga il ragionamento che fai partire da qui.
ad esempio $AA n EE x in RR | x in (0,1/n)$, ma $!EE x in (0,1/n) AA n$.

"Inmytime":l'insieme dei razionali si ottiene a partire da un sottoinsieme discreto di razionali equidistanziati di 1/n

sicuro? la costruzione dei razionali che conosco si effettua ponendo $QQ$ come l'insieme delle coppie ordinate di interi di cui il secondo diverso da zero $(a,b)$, modulo la relazione di equivalenza $(a,b)~(c,d) hArr ad=bc$. e non si ha la nozione di "successivo".
com'è la costruzione che conosci tu?

"Inmytime":perche questi buchi non fanno convergere i processi di misura

ok, $QQ$ è bucato nel senso che esistono successioni di cauchy razionali che non hanno limite in $QQ$, ma i buchi hanno "diametro nullo", nel senso che $AA epsilon>0 EE q_1,q_2 in QQ, q_1!=q_2 | |q_1-q_2|$. perciò bucato significa che esistono successioni di cauchy che non hanno limite. e non c'è un perchè, sono sinonimi.

"Inmytime":che differenza c'è tra questi dq e i più famosi differenziali che si introducono in campo reale (che sono ancora buchi, in un certo senso, ma evidentemente più piccoli dei precedenti perchè nella retta reale ci sono più numeri)

consiglio: lascia perdere questi dq... la retta reale non ha buchi (è completa).
per quanto riguarda il resto, attento.... cosa stai chiedendo, differenziali o forme differenziali?

[Inmytime]

"Nebula":[quote="Inmytime"]dunque, la terminologia dovrebbe essere utilizzata in una branca della logica (che non conosco): questa teoria generalizza le procedure che si usano per introdurre ad esempio l'insieme dei reali a partire da quello dei razionali, l'insieme delle distribuzioni a partire da quello delle funzioni etc. un risultato importante dice più o meno che se per ogni naturale n esiste un entità che verifica una data proposizione dipendente da n, P(n), allora posso teorizzare l'esistenza di un qualcosa che verifica P(n) per ogni n.

non sono sicuro di aver capito bene, ma non penso sia vero, perciò non penso valga il ragionamento che fai partire da qui.
ad esempio $AA n EE x in RR | x in (0,1/n)$, ma $!EE x in (0,1/n) AA n$.[/quote]

"teorizzare l'esistenza di un qualcosa che verifica P(n) per ogni n" significa che posso trovare una teoria, contenente la precedente (passatemi il termine), in cui questo è vero. ad esempio, $AA n EE x in RR | x in (0,1/n)$ nella teoria dei reali, e $EE x in (0,1/n) AA n$ nella teoria di Robinson, come giustamente ha osservato lorenzo (un x del genere non è un reale, ci tengo a precisare)

"Nebula":[quote="Inmytime"]l'insieme dei razionali si ottiene a partire da un sottoinsieme discreto di razionali equidistanziati di 1/n

sicuro? la costruzione dei razionali che conosco si effettua ponendo $QQ$ come l'insieme delle coppie ordinate di interi di cui il secondo diverso da zero $(a,b)$, modulo la relazione di equivalenza $(a,b)~(c,d) hArr ad=bc$. e non si ha la nozione di "successivo".
com'è la costruzione che conosci tu?[/quote]

intendevo dire, che se parti da un sottoinsieme discreto di razionali equidistanziati, e via via aggiungi punti ad esempio intercalando tra due successivi (razionali) il punto di mezzo (razionale), ottieni $QQ$. chiaramente questo era solo per introdurre il ragionamento (cioè, se esiste successore quando i buchi sono finiti, si può astrarre una nozione di successore anche quando i buchi sono infinitesimi), la definizione formale di $QQ$ è quella che dici tu, certo

"Nebula":[quote="Inmytime"]perche questi buchi non fanno convergere i processi di misura

ok, $QQ$ è bucato nel senso che esistono successioni di cauchy razionali che non hanno limite in $QQ$, ma i buchi hanno "diametro nullo", nel senso che $AA epsilon>0 EE q_1,q_2 in QQ, q_1!=q_2 | |q_1-q_2|$. perciò bucato significa che esistono successioni di cauchy che non hanno limite. e non c'è un perchè, sono sinonimi.[/quote]

ah, mi chiedevo se ci fossero argomentazioni che spiegassero in modo soddisfacente perchè $QQ$ è denso ma non completo (a parte quelle geometriche, vedi pitagora o quella citata da elgiovo), ma mi pare di capire che non ne esistono...

"Nebula":[quote="Inmytime"]che differenza c'è tra questi dq e i più famosi differenziali che si introducono in campo reale (che sono ancora buchi, in un certo senso, ma evidentemente più piccoli dei precedenti perchè nella retta reale ci sono più numeri)

consiglio: lascia perdere questi dq... la retta reale non ha buchi (è completa).
per quanto riguarda il resto, attento.... cosa stai chiedendo, differenziali o forme differenziali?[/quote]

i buchi della retta reale, sempre a quanto ho capito, sono gli iperreali (si dovrebbero chiamare così), che stanno in $(0,1/n) AA n$, e sono imparentati con i differenziali in $RR$... le forme differenziali non mi pare c'entrino qualcosa

[Nebula2]

mmm... non conosco minimamente la teoria di cui parli, perciò torno in panchina...

[Lorenzo Pantieri]

"Inmytime":
ah, mi chiedevo se ci fossero argomentazioni che spiegassero in modo soddisfacente perchè $QQ$ è denso ma non completo (a parte quelle geometriche, vedi pitagora o quella citata da elgiovo), ma mi pare di capire che non ne esistono...

Eccome se esistono! Prendi l'insieme dei razionali positivi il cui quadrato è minore di 2. Si tratta di un insieme superiormente limitato, ma che non ha sup (in $\QQ$, naturalmente). Con un linguaggio suggestivo, ma impreciso, puoi pensare a $\sqrt{2}$ come ad un "buco" sulla retta razionale.

"Nebula":
i buchi della retta reale sono gli iperreali (si dovrebbero chiamare così), che stanno in $(0,1/n) AA n$, e sono imparentati con i differenziali in $RR$

Non è molto rigorosa questa affermazione. I numeri ipperreali sono un'estensione dei numeri reali, nel senso che l'insieme degli iperreali contiene un campo ordinato completo, isomorfo ad $\RR$; con un linguaggio immaginifico, puoi pensare agli altri numeri iperreali come "buchi" sulla retta reale.

Ma sono chiacchiere, modi suggestivi di vedere le cose (non a caso, ho messo la parola "buchi" tra virgolette).

Ciao,
L.

[Inmytime]

"Lorenzo Pantieri":[quote="Inmytime"]
ah, mi chiedevo se ci fossero argomentazioni che spiegassero in modo soddisfacente perchè $QQ$ è denso ma non completo (a parte quelle geometriche, vedi pitagora o quella citata da elgiovo), ma mi pare di capire che non ne esistono...

Eccome se esistono! Prendi l'insieme dei razionali positivi il cui quadrato è minore di 2. Si tratta di un insieme superiormente limitato, ma che non ha sup (in $\QQ$, naturalmente). Con un linguaggio suggestivo, ma impreciso, puoi pensare a $\sqrt{2}$ come ad un "buco" sulla retta razionale.[/quote]

ah già, la costruzione di dedekind, me ne ero dimenticato (grazie per avermelo fatto notare)... direi che posso interpretare i buchi come elementi separatori mancanti. in sostanza, se voglio misurare un segmento il cui quadrato è due per eccesso e per difetto con segmenti razionali, posso si ridurre quanto voglio lo scarto tra la misura per eccesso e quella per difetto (per la densità), ma non riuscirò mai a trovare un segmento razionale intermedio che rimanga tale ad ogni stadio della misura... è corretto?

"Lorenzo Pantieri":[quote="Inmytime"]
i buchi della retta reale sono gli iperreali (si dovrebbero chiamare così), che stanno in $(0,1/n) AA n$, e sono imparentati con i differenziali in $RR$

Non è molto rigorosa questa affermazione. I numeri ipperreali sono un'estensione dei numeri reali, nel senso che l'insieme degli iperreali contiene un campo ordinato completo, isomorfo ad $\RR$[/quote]

va bene, ho usato il solito abuso di linguaggio...