Brutto esercizio - successioni definite per ricorrenza.
Salve ragazzi , ho questa successione :
$a_n = \int_0 ^1 x^n/(x^2+1)$ $AA n \in NN$.
Mi si chiede di determinare un'espressione di $a_n$ per ricorrenza. Dire se ammette limite e se $a_n$ è crescente.
Inizialmente avevo pensato di considerare $I_(n+1) = \int ( x^(n+1))/(x^2+1)$e di risolvere quell'integrale indefinito in modo tale da metterlo in relazione con gli $n$ precedenti.
Ma risolvendolo con qualunque metodo a mia disposizione, mi blocco e non riesco ad andare avanti.
In poche parole, ho provato in tutti modi di operare per parti, ma senza risultato.
Ho deciso di cambiare tecnica risolutiva. Ma anche questa un po strana.
Ho notato che se $n$ è pari $\int ( x^n) / ( x^2+1) =\int \sum_(k=1)^(n/2) (-1)^(k+1)x^(n-2k) - (1/(x^2+1))=$
$= \sum_(i=1)^(n/2) (-1)^(k+1)(x^(n-2k+1))/(n-2k+1) - arctg(x) +C$
e da qui ricaverei che $a_(2n)=\sum_(i=1)^(n/2) (-1)^(k+1)*1/(n-2k+1) - \pi/4$
Per gli $n$ dispari invece ho trovato qualcosa di simile :
$ \int ( x^n) / ( x^2+1) =\int \sum_(k=0)^((n-1)/2) (-1)^kx^(n-2-2k) - x/(x^2+1) = \sum_(k=0)^((n-1)/2)(-1)^k (x^(n-2-2k+1))/(n-2-2k+1)-1/2log(1+x^2)+C $
e quindi avrei che $a_(2n+1)= \sum_(k=0)^((n-1)/2)(-1)^k (1)/(n-2-2k+1) - 1/2 ln(2)$.
Insomma, sto casino (ammesso che i miei conti siano corretti si intende.. cosa che dubito altamente..), non mi avrà dato la forma ricorsiva di $a_n$ ma almeno posso concludere qualcosa sull'esistenza o meno del limite.
Da quello che risulta è che $a_(2n) -> -pi/4$ e $a_(2n+1) -> -1/2 ln(2)$ e quindi il limite non esiste.
Sento di aver svarionato di brutto questa volta, avete consigli e tirate di orecchie da darmi?
Altre soluzioni non ne vedo.
* se sta baraonda è corretta risponderei anche ad un altro dei quesiti. La successione è irregolare perché non ammette limite e quindi non può essere crescente.
$a_n = \int_0 ^1 x^n/(x^2+1)$ $AA n \in NN$.
Mi si chiede di determinare un'espressione di $a_n$ per ricorrenza. Dire se ammette limite e se $a_n$ è crescente.
Inizialmente avevo pensato di considerare $I_(n+1) = \int ( x^(n+1))/(x^2+1)$e di risolvere quell'integrale indefinito in modo tale da metterlo in relazione con gli $n$ precedenti.
Ma risolvendolo con qualunque metodo a mia disposizione, mi blocco e non riesco ad andare avanti.
In poche parole, ho provato in tutti modi di operare per parti, ma senza risultato.
Ho deciso di cambiare tecnica risolutiva. Ma anche questa un po strana.
Ho notato che se $n$ è pari $\int ( x^n) / ( x^2+1) =\int \sum_(k=1)^(n/2) (-1)^(k+1)x^(n-2k) - (1/(x^2+1))=$
$= \sum_(i=1)^(n/2) (-1)^(k+1)(x^(n-2k+1))/(n-2k+1) - arctg(x) +C$
e da qui ricaverei che $a_(2n)=\sum_(i=1)^(n/2) (-1)^(k+1)*1/(n-2k+1) - \pi/4$
Per gli $n$ dispari invece ho trovato qualcosa di simile :
$ \int ( x^n) / ( x^2+1) =\int \sum_(k=0)^((n-1)/2) (-1)^kx^(n-2-2k) - x/(x^2+1) = \sum_(k=0)^((n-1)/2)(-1)^k (x^(n-2-2k+1))/(n-2-2k+1)-1/2log(1+x^2)+C $
e quindi avrei che $a_(2n+1)= \sum_(k=0)^((n-1)/2)(-1)^k (1)/(n-2-2k+1) - 1/2 ln(2)$.
Insomma, sto casino (ammesso che i miei conti siano corretti si intende.. cosa che dubito altamente..), non mi avrà dato la forma ricorsiva di $a_n$ ma almeno posso concludere qualcosa sull'esistenza o meno del limite.
Da quello che risulta è che $a_(2n) -> -pi/4$ e $a_(2n+1) -> -1/2 ln(2)$ e quindi il limite non esiste.
Sento di aver svarionato di brutto questa volta, avete consigli e tirate di orecchie da darmi?
Altre soluzioni non ne vedo.
* se sta baraonda è corretta risponderei anche ad un altro dei quesiti. La successione è irregolare perché non ammette limite e quindi non può essere crescente.
Risposte
A noi piacciono proprio gli esercizi brutti, sporchi e difficili... 
Il segreto qui è prendere $a_(n-2)$....cioè:
$a_n+a_(n-2)=\int_0^1(x^n/(x^2+1))dx+\int_0^1 x^(n-2)/(x^2+1)dx$
$=\int_0^1((x^n+x^(n-2))/(x^2+1))dx$
$=\int_0^1(((x^2+1)x^(n-2))/(x^2+1))dx$
$=\int_0^1x^(n-2)dx= (x^(n-1))/(n-1)]_0^1=1/(n-1)$
In definitiva
$a_n=1/(n-1)-a_(n-2)$
Stabiliti i primi due termini $a_0=(\pi)/(4)$ e $a_1= log(\sqrt2)$ gli altri sono tutti definiti (ad es. i pari):
$a_0=(\pi)/(4)$
$a_2=1-(\pi)/(4)$
$a_4=(\pi)/(4)-2/3$
$a_6=(13)/(15)-(\pi)/(4)$
ecc....
La controprova la si ha risolvendo direttamente gli integrali, magari con l'aiuto di un esperto:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=In ... 2C+1%7D%5D
Il segreto qui è prendere $a_(n-2)$....cioè:
$a_n+a_(n-2)=\int_0^1(x^n/(x^2+1))dx+\int_0^1 x^(n-2)/(x^2+1)dx$
$=\int_0^1((x^n+x^(n-2))/(x^2+1))dx$
$=\int_0^1(((x^2+1)x^(n-2))/(x^2+1))dx$
$=\int_0^1x^(n-2)dx= (x^(n-1))/(n-1)]_0^1=1/(n-1)$
In definitiva
$a_n=1/(n-1)-a_(n-2)$
Stabiliti i primi due termini $a_0=(\pi)/(4)$ e $a_1= log(\sqrt2)$ gli altri sono tutti definiti (ad es. i pari):
$a_0=(\pi)/(4)$
$a_2=1-(\pi)/(4)$
$a_4=(\pi)/(4)-2/3$
$a_6=(13)/(15)-(\pi)/(4)$
ecc....
La controprova la si ha risolvendo direttamente gli integrali, magari con l'aiuto di un esperto:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=In ... 2C+1%7D%5D
mazza che figata ! il fatto è che sembra così semplice, ma mai avrei pensato a questo.
So che magari ci vuole occhio, ma l'idea come ti è venuta? il trucchetto dunque era quello di utilizzare alla fin fine l'additività dell'integrale e stabilire una qualche relazione tra il termine n-esimo e il termine n-2 esimo (in questo caso) , giusto?
So che magari ci vuole occhio, ma l'idea come ti è venuta? il trucchetto dunque era quello di utilizzare alla fin fine l'additività dell'integrale e stabilire una qualche relazione tra il termine n-esimo e il termine n-2 esimo (in questo caso) , giusto?
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