Breve domanda Sommatoria
Ciao, ho trovato questo tipo di sommatoria.
Sapete dirmi il nome di questa sommatoria così me la guardo?
Intendo il nome di una sommatoria del tipo $ i,J=1,i!= J $
Non mi è molto chiaro come si sviluppa/espande
Ad esempio non mi è chiaro se sviluppando posso trovarmi in una condizione del genere (trascurando tutto il resto della sommatoria e lasciando solo $ qi $ e $ qj $ ):
$ q1*q2+....+q2*q1 $
Grazie!!
Sapete dirmi il nome di questa sommatoria così me la guardo?
Intendo il nome di una sommatoria del tipo $ i,J=1,i!= J $
Non mi è molto chiaro come si sviluppa/espande
Ad esempio non mi è chiaro se sviluppando posso trovarmi in una condizione del genere (trascurando tutto il resto della sommatoria e lasciando solo $ qi $ e $ qj $ ):
$ q1*q2+....+q2*q1 $
Grazie!!
Risposte
Ciao matteo_g,
Non so se ha un nome, ma si tratta di una sommatoria doppia per $i $ e $j $ che vanno da $1 $ a $4 $ con $j \ne i $, quindi si tratta di una somma di $16 - 4 = 12 $ termini:
$U = 1/2 \sum_{i,j = 1, j \ne i}^{4} \frac{q_i q_j}{4\pi \epsilon_0 r_{ij}} = $
$ = 1/2 \frac{1}{4\pi \epsilon_0} (\frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_1 q_4}{r_{14}} + \frac{q_2 q_1}{r_{21}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_2 q_4}{r_{24}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} + \frac{q_3 q_2}{r_{32}} + \frac{q_3 q_4}{r_{34}} + \frac{q_4 q_1}{r_{41}} + \frac{q_4 q_2}{r_{42}} + \frac{q_4 q_3}{r_{43}})$
"matteo_g":
Sapete dirmi il nome di questa sommatoria così me la guardo?
Non so se ha un nome, ma si tratta di una sommatoria doppia per $i $ e $j $ che vanno da $1 $ a $4 $ con $j \ne i $, quindi si tratta di una somma di $16 - 4 = 12 $ termini:
$U = 1/2 \sum_{i,j = 1, j \ne i}^{4} \frac{q_i q_j}{4\pi \epsilon_0 r_{ij}} = $
$ = 1/2 \frac{1}{4\pi \epsilon_0} (\frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_1 q_4}{r_{14}} + \frac{q_2 q_1}{r_{21}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_2 q_4}{r_{24}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} + \frac{q_3 q_2}{r_{32}} + \frac{q_3 q_4}{r_{34}} + \frac{q_4 q_1}{r_{41}} + \frac{q_4 q_2}{r_{42}} + \frac{q_4 q_3}{r_{43}})$
Ciao, grazie per la risposta.
Sei sicuro che si sviluppi così?
Perché pure io avevo pensato di fare in quel modo però se vado a vedere un esempio svolto di come si calcola l'energia potenziale elettrostatica totale (la formula era relativa a quello) fa notare proprio che non devono esserci ripetizioni del tipo q1*q2 e q2*q1.
ti allego la pagina dell'halliday resnick:
Sei sicuro che si sviluppi così?
Perché pure io avevo pensato di fare in quel modo però se vado a vedere un esempio svolto di come si calcola l'energia potenziale elettrostatica totale (la formula era relativa a quello) fa notare proprio che non devono esserci ripetizioni del tipo q1*q2 e q2*q1.
ti allego la pagina dell'halliday resnick:
Si sviluppa esattamente come detto da pilloeffe.
Io stavo per postare la stessa cosa in precedenza (compreso $16-4=12$
) ma mi sono fermato perché ho pensato che "nella pratica" quella espressione andasse dimezzata.
Per ottenere ciò bastava sostituire agli indici questa scrittura $1<=i
Cordialmente, Alex
Io stavo per postare la stessa cosa in precedenza (compreso $16-4=12$
) ma mi sono fermato perché ho pensato che "nella pratica" quella espressione andasse dimezzata.Per ottenere ciò bastava sostituire agli indici questa scrittura $1<=i
Cordialmente, Alex
Ciao Alex,
In effetti hai ragione, ora che il contesto è chiaro è evidente che ad esempio $(q_1 q_2)/(r_{12}) = (q_2 q_1)/(r_{21}) $ e così via per cui l'espressione di $U$ si può semplificare:
$ U =\frac{1}{8\pi \epsilon_0} (\frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_1 q_4}{r_{14}} + \frac{q_2 q_1}{r_{21}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_2 q_4}{r_{24}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} + \frac{q_3 q_2}{r_{32}} + \frac{q_3 q_4}{r_{34}} + \frac{q_4 q_1}{r_{41}} + \frac{q_4 q_2}{r_{42}} + \frac{q_4 q_3}{r_{43}}) = $
$ = 1/2 \frac{1}{4\pi \epsilon_0} (2\frac{q_1 q_2}{r_{12}} + 2\frac{q_1 q_3}{r_{13}} + 2\frac{q_1 q_4}{r_{14}} + 2 \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + 2 \frac{q_2 q_4}{r_{24}} + 2 \frac{q_3 q_4}{r_{34}}) = $
$ = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} (\frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_1 q_4}{r_{14}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_2 q_4}{r_{24}} + \frac{q_3 q_4}{r_{34}}) $
"axpgn":
Si sviluppa esattamente come detto da pilloeffe.
Io stavo per postare la stessa cosa in precedenza (compreso $16−4=12$
"axpgn":
mi sono fermato perché ho pensato che "nella pratica" quella espressione andasse dimezzata.
In effetti hai ragione, ora che il contesto è chiaro è evidente che ad esempio $(q_1 q_2)/(r_{12}) = (q_2 q_1)/(r_{21}) $ e così via per cui l'espressione di $U$ si può semplificare:
$ U =\frac{1}{8\pi \epsilon_0} (\frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_1 q_4}{r_{14}} + \frac{q_2 q_1}{r_{21}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_2 q_4}{r_{24}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} + \frac{q_3 q_2}{r_{32}} + \frac{q_3 q_4}{r_{34}} + \frac{q_4 q_1}{r_{41}} + \frac{q_4 q_2}{r_{42}} + \frac{q_4 q_3}{r_{43}}) = $
$ = 1/2 \frac{1}{4\pi \epsilon_0} (2\frac{q_1 q_2}{r_{12}} + 2\frac{q_1 q_3}{r_{13}} + 2\frac{q_1 q_4}{r_{14}} + 2 \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + 2 \frac{q_2 q_4}{r_{24}} + 2 \frac{q_3 q_4}{r_{34}}) = $
$ = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} (\frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_1 q_4}{r_{14}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_2 q_4}{r_{24}} + \frac{q_3 q_4}{r_{34}}) $
Ok, ho capito, vi ringrazio entrambi!!
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