Breve chiarimento sull'analiticità
Buonasera a tutti!
Studiando analisi complessa, sono incappato inevitabilmente nel concetto di analiticità di una funzione $f(z)$.
Sappiamo che una funzione complessa è derivabile in un certo dominio $D$ se tutti i punti di $D$ soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann.
Quindi mi chiedo: il concetto di analiticità per le funzioni complesse è equivalente a quello di derivabilità per le funzioni reali?
Ve lo chiedo perchè nei miei appunti ho scritto che una funzione complessa è analitica in un certo $z_0$ se è derivabile in $z_0$ e in tutto un suo intorno. Ma poi ho anche scritto che se una funzione complessa è derivabile in un certo dominio $D$, si dice che è ivi analitica.
Vi ringrazio
Studiando analisi complessa, sono incappato inevitabilmente nel concetto di analiticità di una funzione $f(z)$.
Sappiamo che una funzione complessa è derivabile in un certo dominio $D$ se tutti i punti di $D$ soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann.
Quindi mi chiedo: il concetto di analiticità per le funzioni complesse è equivalente a quello di derivabilità per le funzioni reali?
Ve lo chiedo perchè nei miei appunti ho scritto che una funzione complessa è analitica in un certo $z_0$ se è derivabile in $z_0$ e in tutto un suo intorno. Ma poi ho anche scritto che se una funzione complessa è derivabile in un certo dominio $D$, si dice che è ivi analitica.
Vi ringrazio
Risposte
Esiste un analogo del concetto di analiticità per funzioni reali ma non è la derivabilità. Non sempre si usa quella che usi tu come definizione di funzione analitica; nel caso complesso olomorfa e analitica coincidono ma in genere derivabile e analitica non coincidono. Per intenderci, una funzione analitica è \(C^{\infty}\) come funzione reale in due variabili ed esistono funzioni \(C^{\infty}\) che non sono analitiche.
Ci sono due strade (almeno che io sappia) per affrontare questa teoria.
La prima è dare la definizione di funzione olomorfa (o "derivabile") e dimostrare l'equivalenza fra Olomorfia e Analiticità, dove per funzione analitica in $z_0$ s'intende una funzione sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di $z_0$. (*)
La seconda è partire dicendo che una funzione Olomorfa (o "derivabile") si chiama anche Analitica, e poi, come risultato, si ha che Olomorfa (quindi analitica) equivale a "Sviluppabile".
Chiaramente è una mera questione di nomi.
Per quanto riguarda il caso Reale, come dice giustamente vict85, c'è una definizione di Analiticità in un introno, che richiama sempre il discorso "Taylor". Però non c'è un chiaro nesso fra derivabilità in $mathbbR$ e Analiticità in $mathbbR$. Ti consiglio di "metterti d'accordo" col professore (se devi sostenere un esame) oppure, se stai studiando per fatti tuoi, cerca di fare riferimento a UN SOLO libro (**) per quanto riguarda le definizioni e poi, qualora tu voglia consultare altre fonti per fare delle integrazioni, stare attento a cosa hai definito nel tuo studio e come. La verità è una, i modi di dimostrarla sono tanti e diversi, così come sono diversi gli aspetti che ciascun libro preferisce mettere in luce.
La derivabilità in $mathbbC$ ad esempio (olomorfia) si definisce come nel caso reale, cioè si richiede l'esistenza di un limite, però come questa proprietà si sviluppa nei due ambienti e cosa permette di fare, è diverso.
(*) Con tutto il popò di formalismi che richiede questa definizone eh!
(**) Posso consigliarti il libro di Presilla, oppure Gilardi "Analisi Matematica 3", oppure Lang "Complex Analysis".
Sappi che sono monografie molto corpose, da cui ti consiglio espressamente solo di estrarre ciò che serve, per limare i dettagli. Se inizi a immergerti..è la fine! L'analisi complessa è IMMENSA.
La prima è dare la definizione di funzione olomorfa (o "derivabile") e dimostrare l'equivalenza fra Olomorfia e Analiticità, dove per funzione analitica in $z_0$ s'intende una funzione sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di $z_0$. (*)
La seconda è partire dicendo che una funzione Olomorfa (o "derivabile") si chiama anche Analitica, e poi, come risultato, si ha che Olomorfa (quindi analitica) equivale a "Sviluppabile".
Chiaramente è una mera questione di nomi.
Per quanto riguarda il caso Reale, come dice giustamente vict85, c'è una definizione di Analiticità in un introno, che richiama sempre il discorso "Taylor". Però non c'è un chiaro nesso fra derivabilità in $mathbbR$ e Analiticità in $mathbbR$. Ti consiglio di "metterti d'accordo" col professore (se devi sostenere un esame) oppure, se stai studiando per fatti tuoi, cerca di fare riferimento a UN SOLO libro (**) per quanto riguarda le definizioni e poi, qualora tu voglia consultare altre fonti per fare delle integrazioni, stare attento a cosa hai definito nel tuo studio e come. La verità è una, i modi di dimostrarla sono tanti e diversi, così come sono diversi gli aspetti che ciascun libro preferisce mettere in luce.
La derivabilità in $mathbbC$ ad esempio (olomorfia) si definisce come nel caso reale, cioè si richiede l'esistenza di un limite, però come questa proprietà si sviluppa nei due ambienti e cosa permette di fare, è diverso.
(*) Con tutto il popò di formalismi che richiede questa definizone eh!
(**) Posso consigliarti il libro di Presilla, oppure Gilardi "Analisi Matematica 3", oppure Lang "Complex Analysis".
Sappi che sono monografie molto corpose, da cui ti consiglio espressamente solo di estrarre ciò che serve, per limare i dettagli. Se inizi a immergerti..è la fine! L'analisi complessa è IMMENSA.
Vi ringrazio! Devo ammettere che ho l'idee ancora più confuse di prima, ma è un segno positivo del fatto che è bene soffermarsi sui concetti in dubbio.
Avreste il titolo di un testo che tratta questo argomento in modo chiaro? Sono al secondo anno di ingegneria.
Se sapete darmelo, cercherò domani in biblioteca e vi farò sapere!
[possibilmente in italiano]
Ancora grazie
P.S. Scusami wide, avevo letto il tuo post fino a prima degli asterischi e non mi ero accorto dei titoli che mi avevi già dato, grazie
Avreste il titolo di un testo che tratta questo argomento in modo chiaro? Sono al secondo anno di ingegneria.
Se sapete darmelo, cercherò domani in biblioteca e vi farò sapere!
[possibilmente in italiano]
Ancora grazie
P.S. Scusami wide, avevo letto il tuo post fino a prima degli asterischi e non mi ero accorto dei titoli che mi avevi già dato, grazie
Prova questo, è simpatico e non torppo pesante.
http://solitons.altervista.org/bruschi/ ... lessa_.pdf
http://solitons.altervista.org/bruschi/ ... lessa_.pdf
Se non ti appare, scrivi su Google "Anlisi complessa fisica".
E' il primo che ti propone.
E' il primo che ti propone.
Buonasera a tutti!
Scrivo per la cronaca.
Stamattina sono andato in biblioteca e ho trovato il testo "Basic Complex Analysis"; non ricordo esattamente tutti gli autori, ma uno che mi è rimasto in mente è un certo Hoffman. La definizione che riporta di analiticità di una funzione è esattamente quella che ho negli appunti, quindi immagino che per la matematica dal punto di vista ingegneristico possa andare bene quella come definizione, senza ulteriori diciamo "raffinamenti" di quello che può implicare il significato.
Mi rendo conto che il concetto di analiticità possa essere molto vasto, ma evidentemente per ciò che concerne il mio corso, è sufficiente quello. Eventuali ulteriori conseguenze del termine e delle sue implicazioni le lascio ai matematici di professione, io per ora rimango un quasi-quasi-quasi ing
Scrivo per la cronaca
. Stamattina sono andato in biblioteca e ho trovato il testo "Basic Complex Analysis"; non ricordo esattamente tutti gli autori, ma uno che mi è rimasto in mente è un certo Hoffman. La definizione che riporta di analiticità di una funzione è esattamente quella che ho negli appunti, quindi immagino che per la matematica dal punto di vista ingegneristico possa andare bene quella come definizione, senza ulteriori diciamo "raffinamenti" di quello che può implicare il significato.
Mi rendo conto che il concetto di analiticità possa essere molto vasto, ma evidentemente per ciò che concerne il mio corso, è sufficiente quello. Eventuali ulteriori conseguenze del termine e delle sue implicazioni le lascio ai matematici di professione, io per ora rimango un quasi-quasi-quasi ing
Mmmm... Questo è un punto dolente sul quale i testi di Analisi Complessa fanno sempre "confusione".*
Partiamo con le definizioni base: in quello che segue \(D \subseteq \mathbb{C}\) è un aperto.
In particolare si provano, esattamente come si fa nel caso reale, quattro cose importanti:
Partiamo con le definizioni base: in quello che segue \(D \subseteq \mathbb{C}\) è un aperto.
Una funzione \(f:D\to \mathbb{C}\) si dice derivabile in senso complesso in \(z_0\in D\) se e solo se esiste finito il:
\[
\lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\; .
\]
Se \(f\) è derivabile in senso complesso in ogni punto di \(D\), allora \(f\) si dice derivabile in senso complesso in \(D\) oppure (più semplicemente) olomorfa in \(D\).
Una funzione \(f:D\to \mathbb{C}\) si dice analitica in \( z_0 \in D\) se e solo se essa si può sviluppare in serie di potenze intorno ad ogni punto \(z_0\in D\), cioè se esiste una successione \((a_n)\subset \mathbb{C}\) (i cui termini dipendono da \(z_0\)) tale che la serie di potenze \(\sum a_n\ (z-z_0)^n\) ha raggio di convergenza \(\rho (z_0)>0\) e risulta:
\[
f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\ (z-z_0)^n\qquad \text{ per tutti gli } z\in D \text{ tali che } |z-z_0|<\rho (z_0)\; .
\]
Se \(f\) è analitica in ogni punto di \(D\), essa è detta analitica in \(D\).
In particolare si provano, esattamente come si fa nel caso reale, quattro cose importanti:
- [*:2uuj0saf] se \(f\) è analitica in \(z_0\), allora essa è analitica in tutto un intorno di \(z_0\): in particolare, essa è analitica in tutto un intorno circolare di raggio \(r\leq 1/2\ \rho (z_0)\) di \(z_0\) contenuto in \(D\) (questo teorema, nella versione reale, l'ho dimostrato uno dei miei primi post qui); quindi l'analiticità non è una proprietà "puntuale" (come la derivabilità o la continuità), ma è una proprietà "locale";
[/*:m:2uuj0saf]
[*:2uuj0saf] se \(f\) è analitica in \(z_0\), allora essa è derivabile indefinitamente in senso complesso in tutto un intorno di \(z_0\) e le sue derivate sono le somme delle serie derivate da \(\sum a_n\ (z-z_0)^n\);
[/*:m:2uuj0saf]
[*:2uuj0saf] se \(f\) è analitica in \(z_0\), allora la serie \(\sum a_n\ (z-z_0)^n\) coincide con la serie di Taylor di \(f\) di punto iniziale \(z_0\), cioè si ha:
\[
\forall n\in \mathbb{N},\quad a_n=\frac{f^{(n)} (z_0)}{n!}\; .
\]
[/*:m:2uuj0saf]
[*:2uuj0saf] se una funzione analitica in \(z_0\) ha tutte le derivate nulle in un punto intorno a \(z_0\), allora \(f\) è identicamente nulla intorno a \(z_0\) (questo è il cosiddetto Principio d'Identità delle Funzioni Analitiche).[/*:m:2uuj0saf][/list:u:2uuj0saf]
Nel caso complesso, si dimostra che ogni funzione olomorfa (cioè derivabile una sola volta) nel suo aperto di definizione è anche analitica in tale aperto... Proprio per questo, come dicevo in apertura, i libri di Analisi Complessa fanno "confusione" tra funzione analitica e funzione derivabile.
Tuttavia, questo è un fenomeno che si presenta solo nel caso complesso!
Infatti, in generale, quello di funzione derivabile e quello di funzione analitica sono concetti diversi, ed il secondo è infinitamente più forte del primo.
Ad esempio, nel caso reale, la funzione:
\[
f(x):= \begin{cases} \exp (-1/x^2) &\text{, se } x\neq 0 \\ 0 &\text{, se } x=0 \end{cases}
\]
è una funzione indefinitamente derivabile in \(0\) (ed in tutto \(\mathbb{R}\)) e tuttavia essa non è analitica in tale punto. Infatti, se per assurdo fosse analitica, essa sarebbe sviluppabile in serie di Taylor di centro \(0\); ma si prova per induzione che i coefficienti di Taylor di \(f\) in \(0\) sono tutti nulli, perché risulta \(f^{(n)} (0)=0\) per ogni \(n\); quindi la serie di Taylor di \(f\) è la serie nulla... E ciò è assurdo in quanto \(f(x)> 0\) per \(x\neq 0\).
Quindi, in generale, l'analiticità in un aperto implica la indefinita derivabilità nello stesso aperto, ma non vale il viceversa.
P.S.: Arrivo quando è stata già aggiunta tanta carne a cuocere... Tuttavia avevo scritto questa bozza ieri pomeriggio e mi sembrava un peccato "cestinarla". Spero sia stata utile lo stesso.
__________
* A ragion veduta, però, dato che non ci sono linee di demarcazione nette nel campo complesso (mentre nel caso reale queste linee ci sono e sono pure nettissime).
Confermo, andando avanti con lo studio è scritto che $f(z)$ è analitica in $z_0$ solo se è sviluppabile in $z_0$.
In ogni caso ho un piccolo dubbio su un'altra questione annessa alle funzioni analitiche.
Forse vado OT, ma almeno evito di "sporcare" ulteriormente il forum, quindi sfrutto questo topic.
Teorema di convergenza delle funzioni analitiche: Sia ${f_n(z)}$ una successione di funzioni analitiche in $DsubeCC$. Preso $z_0\inD$, costruiamo l'intorno circolare $B_R(z_0):{z\inDsubeCC:|z-z_0|<=R}$. Se ${f_n(z)}$ converge uniformemente a $f(z)$ in $B_r(z_0)$, per ogni scelta di $z_0\inDsubeCC$, allora $f(z)$ è analitica in $D$. Inoltre la successione ${f'_n(z)}$ converge puntualmente in $D$ e uniformemente in $B_R(z)$. Sia $\sum{f_n(z)}$ una serie di funzioni uniformemente convergenti a $S(z)$ in $DsubeCC$. Allora $S(z)$ è analitica in $D$.
Teorema. Data una serie di potenze $\sumc_n(z-z_0)^n$, questa è assolutamente e uniformemente convergente nel raggio di convergenza.
Successivamente c'è una frase che non riesco a spiegarmi del tutto, ovvero:
Dai precedenti teoremi segue che ogni serie di potenze $\sumc_n(z-z_0)^n$ è analitica nel suo raggio di convergenza.
Perchè? Il teorema di convergenza delle f.ni analitiche mi dice che se la serie è uniformemente convergente, allora $S(z)$ è analitica, ma non mi da alcuna informazione sull'analiticità della serie stessa.
Grazie!!
In ogni caso ho un piccolo dubbio su un'altra questione annessa alle funzioni analitiche.
Forse vado OT, ma almeno evito di "sporcare" ulteriormente il forum, quindi sfrutto questo topic.
Teorema di convergenza delle funzioni analitiche: Sia ${f_n(z)}$ una successione di funzioni analitiche in $DsubeCC$. Preso $z_0\inD$, costruiamo l'intorno circolare $B_R(z_0):{z\inDsubeCC:|z-z_0|<=R}$. Se ${f_n(z)}$ converge uniformemente a $f(z)$ in $B_r(z_0)$, per ogni scelta di $z_0\inDsubeCC$, allora $f(z)$ è analitica in $D$. Inoltre la successione ${f'_n(z)}$ converge puntualmente in $D$ e uniformemente in $B_R(z)$. Sia $\sum{f_n(z)}$ una serie di funzioni uniformemente convergenti a $S(z)$ in $DsubeCC$. Allora $S(z)$ è analitica in $D$.
Teorema. Data una serie di potenze $\sumc_n(z-z_0)^n$, questa è assolutamente e uniformemente convergente nel raggio di convergenza.
Successivamente c'è una frase che non riesco a spiegarmi del tutto, ovvero:
Dai precedenti teoremi segue che ogni serie di potenze $\sumc_n(z-z_0)^n$ è analitica nel suo raggio di convergenza.
Perchè? Il teorema di convergenza delle f.ni analitiche mi dice che se la serie è uniformemente convergente, allora $S(z)$ è analitica, ma non mi da alcuna informazione sull'analiticità della serie stessa.
Grazie
!!
"Demostene92":
Successivamente c'è una frase che non riesco a spiegarmi del tutto, ovvero:
"Dai precedenti teoremi segue che ogni serie di potenze $\sumc_n(z-z_0)^n$ è analitica nel suo raggio di convergenza."
Dire che una serie è una funzione analitica non ha alcun significato; quindi prendi questa frase solo come un'espressione bruttissima per dire che "la somma di una serie di potenze convergente è una funzione analitica dentro il cerchio di convergenza".
Ti ringrazio ancora gugo!! Un'ultima cosa, dove posso trovare una spiegazione ben fatta sulla serie di Laurent? Sul mio libro non è molto chiaro...
Cosa non ti è chiaro sulle serie di Laurent?
E che libro usi di Analisi Complessa?
Un libro che trovo abbastanza simpatico ed abbordabile da chiunque è il Greene-Krantz.
E che libro usi di Analisi Complessa?
Un libro che trovo abbastanza simpatico ed abbordabile da chiunque è il Greene-Krantz.
Non uso un libro in realtà, quanto piuttosto le dispense fornite dal mio docente.
E' una persona impeccabile, sempre disponibile, quindi sarebbe sicuramente disposto a chiarirmi eventuali dubbi, ma preferirei riuscire senza disturbarlo.
Faccio un brevissimo sunto.
Allora, io ho capito fino ad ora che la Serie di Taylor viene utilizzata quando è richiesto uno sviluppo attorno ad un punto in cui la funzione è analitica; come anche hai scritto tu, una funzione è analitica in un certo punto se è sviluppabile.
Inoltre, la Serie di Laurent si utilizza per poter studiare meglio le singolarità, poli, etc. e in particolare si usa per scrivere uno sviluppo di una funzione in punti in cui non è possibile scrivere uno sviluppo di Taylor. Sostanzialmente Laurent va bene anche per scrivere serie attorno ad un punto in cui una certa funzione non è analitica.
In generale, la serie di Laurent ha la forma:
Inoltre si ha che i coefficienti della serie sono dati da:
Diciamo che non mi sono chiare alcune cose: innanzitutto il discorso riguardante la corona circolare che si deve considerare; cercando qua e la su internet, ho visto vari esercizi in cui vengono considerati differenti intervalli del tipo $|z|<\alpha$. Non riesco a capire come procedere in generale dall'inizio, quando viene richiesto una serie di Laurent. Immagino che vada sviluppata intorno alle singolarità, comunque.
Meglio, io logicamente partirei con il calcolo dei coefficienti, sfruttando gli integrali che ho postato sopra (anche se non so quale sia $\gamma$), ma ho visto che, di fatto, questo approccio non viene praticamente mai utilizzato.
Riporto un esempio che ho sulle dispense.
Determinare la serie di laurent di $f(z)=(e^z-1)/z$ attorno a $z_0=0$.
Inizia dicendo che $e^z$ è sviluppabile in serie di Taylor e si ottiene: $e^z=\sum_{n=0}^(+\infty)z^n/n!$.
Quindi: $f(z)=1/z^2[z+z^2/2!+z^3/3!+...]=1/z+\sum_{n=0}^(+\infty)z^n/[(n+2)!]$
I passaggi li ho capiti, per carità, ma non viene fatto alcun integrale e, inoltre, è stata fatta la serie di Taylor e non quella di Laurent (almeno così deduco dalla mia ignoranza in merito).
Un altro esempio, di cui riporto solamente il testo, dice: "Determinare la serie di laurent di $f(z)=z/(z^2+1)$ in $z_0=0$ che risulti valida per $|z|<1$ e quella valida per $|z|>1$.
Ecco, qui non saprei proprio da dove cominciare.
In linea di massima comunque ho visto che si utilizzano degli "artefici", cioè non viene mai utilizzata la definizione tramite l'integrale!
Un grazie infinito!!
E' una persona impeccabile, sempre disponibile, quindi sarebbe sicuramente disposto a chiarirmi eventuali dubbi, ma preferirei riuscire senza disturbarlo.
Faccio un brevissimo sunto.
Allora, io ho capito fino ad ora che la Serie di Taylor viene utilizzata quando è richiesto uno sviluppo attorno ad un punto in cui la funzione è analitica; come anche hai scritto tu, una funzione è analitica in un certo punto se è sviluppabile.
Inoltre, la Serie di Laurent si utilizza per poter studiare meglio le singolarità, poli, etc. e in particolare si usa per scrivere uno sviluppo di una funzione in punti in cui non è possibile scrivere uno sviluppo di Taylor. Sostanzialmente Laurent va bene anche per scrivere serie attorno ad un punto in cui una certa funzione non è analitica.
In generale, la serie di Laurent ha la forma:
$f(z)=\sum_{n=0}^(+\infty)a_n(z-z_0)^n+\sum_{n=1}^\(+infty)b_n/(z-z_0)^n$.
Inoltre si ha che i coefficienti della serie sono dati da:
$a_n=1/(2\pii)\int_{\gamma}f(\zeta)/(\zeta-z_0)^(n+1)d\zeta$
$b_n=1/(2\pii)\int_{\gamma}f(\zeta)(\zeta-z_0)^(n+1)d\zeta$
Diciamo che non mi sono chiare alcune cose: innanzitutto il discorso riguardante la corona circolare che si deve considerare; cercando qua e la su internet, ho visto vari esercizi in cui vengono considerati differenti intervalli del tipo $|z|<\alpha$. Non riesco a capire come procedere in generale dall'inizio, quando viene richiesto una serie di Laurent. Immagino che vada sviluppata intorno alle singolarità, comunque.
Meglio, io logicamente partirei con il calcolo dei coefficienti, sfruttando gli integrali che ho postato sopra (anche se non so quale sia $\gamma$), ma ho visto che, di fatto, questo approccio non viene praticamente mai utilizzato.
Riporto un esempio che ho sulle dispense.
Determinare la serie di laurent di $f(z)=(e^z-1)/z$ attorno a $z_0=0$.
Inizia dicendo che $e^z$ è sviluppabile in serie di Taylor e si ottiene: $e^z=\sum_{n=0}^(+\infty)z^n/n!$.
Quindi: $f(z)=1/z^2[z+z^2/2!+z^3/3!+...]=1/z+\sum_{n=0}^(+\infty)z^n/[(n+2)!]$
I passaggi li ho capiti, per carità, ma non viene fatto alcun integrale e, inoltre, è stata fatta la serie di Taylor e non quella di Laurent (almeno così deduco dalla mia ignoranza in merito).
Un altro esempio, di cui riporto solamente il testo, dice: "Determinare la serie di laurent di $f(z)=z/(z^2+1)$ in $z_0=0$ che risulti valida per $|z|<1$ e quella valida per $|z|>1$.
Ecco, qui non saprei proprio da dove cominciare.
In linea di massima comunque ho visto che si utilizzano degli "artefici", cioè non viene mai utilizzata la definizione tramite l'integrale!
Un grazie infinito!!
L'idea per gli esercizi è questa: se hai un modo semplice per calcolare uno sviluppo in serie, perché usare la definizione?
In altre parole, pensa a quando, in Analisi II, dovevi ricavare la serie di MacLaurin di \(f(x):=\sin x^2\): mica ti mettevi a calcolare i coefficienti di Taylor mediante la definizione, i.e.:
\[
a_n=\frac{1}{n!}\ f^{(n)}(0)\; \text{?}
\]
No! Usavi una scorciatoia, perché conoscevi uno sviluppo notevole, cioè \(\sin y=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!!}\ y^{2n+1}\), e ti accorgevi che la sostituzione \(y=x^2\) ti portava al risultato corretto.
Allo stesso modo ora, perché usare la definizione per calcolare i coefficienti di Laurent (che è pure più complicata di quella dei coefficienti di Taylor nel caso reale), se puoi usare una scorciatoia?
Per quanto riguarda la definizione dei coefficienti di Laurent, \(\gamma\) potrebbe essere una qualsiasi circonferenza di raggio sufficientemente piccolo che circonda il punto \(z_0\) ed è tutta contenuta nell'aperto di olomorfia della funzione \(f\) (ma anche una curva qualsiasi con le stesse proprietà, dato che vale il Teorema Integrale di Cauchy).
Per quel che riguarda la "genesi" della serie di Laurent, pensa a quanto segue.
Per un noto teorema, un punto \(z_0\) nel quale \(f\) non è definita ed intorno al quale una funzione \(f\) è olomorfa e limitata è un punto singolare eliminabile (i.e., esiste un prolungamento \(\tilde{f}\) di \(f\) definito pure su \(z_0\) ed olomorfo in un intorno completo di \(z_0\)); quindi un punto \(z_0\) è un punto singolare per una funzione \(f\) se e solo se:
\[
\limsup_{z\to z_0} |f(z)| =+\infty \; .
\]
Quest'ultimo fatto si verifica in due casi: o quando si ha:
\[
\lim_{z\to z_0} |f(z)| =+\infty
\]
ed allora si dice che \(z_0\) è un polo per \(f\); oppure quando:
\[
\liminf_{z\to z_0} |f(z)| = \alpha < +\infty =\limsup_{z\to z_0} |f(z)|\; ,
\]
ed in tal caso si dice che \(z_0\) è una singolarità essenziale per \(f\).
Supponiamo, adesso, di voler approssimare una \(f\) dotata di singolarità polare in \(z_0\) con funzioni "più semplici possibili"... Quali funzioni sarà bene scegliere?
Beh, le funzioni "più semplici" sul mercato sono le potenze con esponente naturale, quindi sembra opportuno scegliere funzioni potenza del tipo \((z-z_0)^n\) (\(n\in \mathbb{N}\)).
Tutavia, se fosse possibile approssimare \(f\) con una serie \(\sum a_n (z-z_0)^n\) otterremmo una funzione che non presenta singolarità in \(z_0\) (poiché si avrebbe \(\limsup_{z\to z_0} |f(z)| =\lim_{z\to z_0} |f(z)|=|a_0|<+\infty\)); quindi se vogliamo approssimare una funzione singolare \(f\) con una serie di funzioni "più semplici", non possiamo ricorrere solo alle potenze naturali.
D'altra parte, notiamo che le potenze ad esponente intero \((z-z_0)^n\) (\(n\in \mathbb{Z}\)) (che sono la più immediata generalizzazione delle potenze ad esponente naturale) sono sufficientemente "più semplici" da manipolare e, cosa ancor più importante, che esse presentano in \(z_0\) una singolarità dello stesso tipo di \(f\) quando \(n<0\) perché:
\[
\lim_{z\to z_0} |(z-z_0)^n| = \lim_{z\to z_0 }\frac{1}{|z-z_0|^{-n}} =+\infty\; ;
\]
quindi tali potenze sembrano una buon scelta per approssimare \(f\) con un polo in \(z_0\).
Quindi cerchiamo di scrivere \(f\) come somma di potenze intere di \(z-z_0\), cioè come somma di una serie "bilatera":
\[
\tag{1}
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^n = \sum_{n=0}^\infty a_n\ (z-z_0)^n + \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{(z-z_0)^n}\; .
\]
Ora, si dimostra che i coefficienti \(a_n\) (\(=c_n\) per \(n\geq 0\)) e \(b_n\) (\(=c_{-n}\) per \(n\geq 1\)), che competono rispettivamente alle potenze nonnegative e negative di \(z_0\), sono univocamente determinati da \(f\) e si calcolano nel modo che sappiamo.
Inoltre, i mostra pure che \(f\) ha una singolarità polare in \(z_0\) se e solo se la serie che contiene le potenze negative di \(z-z_0\) è costituita solo da un numero finito di termini (mentre la serie che contiene le potenze nonnegative può fare ciò che vuole); quindi si può sempre scrivere:
\[
f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\ (z-z_0)^n + \sum_{n=1}^N \frac{b_n}{(z-z_0)^n}
\]
se \(f\) ha una singolarità polare in \(z_0\) ed il numero \(N\) è completamente determinato da \(f\) (e si chiama ordine del polo \(z_0\)).
Cosa succede però, se vogliamo approssimare una funzione avente in \(z_0\) una singolarità essenziale?
Bene, il discorso fatto sopra rimane identico, quindi per trovare una buona approssimazione di \(f\) costituita da funzioni "più semplici" dobbiamo ricorrere comunque ad una serie di potenze bilatera del tipo (1).
Ovviamente, si dimostra che, anche in questo caso, i coefficienti di tale serie rimangono univocamente determinati da \( f\) e si calcolano come sappiamo.
Tuttavia, in questo caso, si prova che la serie contenente le potenze negative di \(z-z_0\) in (1) contiene effettivamente infinite potenze di \(z-z_0\); ed, anzi, vale pure il viceversa, cioè: se una \(f\) si può approssimare con una serie tipo (1) con infiniti addendi contenenti potenze negative di \(z-z_0\), allora \(f\) ha una singolarità essenziale in \(z_0\).
Una serie contenente potenze intere di \(z-z_0\) si chiama serie di Laurent con centro in \(z_0\).
Con il ragionamento appena concluso abbiamo allora scoperto che ogni funzione \(f\), olomorfa intorno a \( z_0\) e singolare in \(z_0\), si può approssimare con una serie di Laurent con centro in \(z_0\); tale serie contiene solo un numero finito di potenze negative se e solo se \(z_0\) è un polo per \(f\), mentre contiene infinite potenze negative se e solo se \(z_0\) è una singolarità essenziale per \(f\).
In altre parole, pensa a quando, in Analisi II, dovevi ricavare la serie di MacLaurin di \(f(x):=\sin x^2\): mica ti mettevi a calcolare i coefficienti di Taylor mediante la definizione, i.e.:
\[
a_n=\frac{1}{n!}\ f^{(n)}(0)\; \text{?}
\]
No! Usavi una scorciatoia, perché conoscevi uno sviluppo notevole, cioè \(\sin y=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!!}\ y^{2n+1}\), e ti accorgevi che la sostituzione \(y=x^2\) ti portava al risultato corretto.
Allo stesso modo ora, perché usare la definizione per calcolare i coefficienti di Laurent (che è pure più complicata di quella dei coefficienti di Taylor nel caso reale), se puoi usare una scorciatoia?
Per quanto riguarda la definizione dei coefficienti di Laurent, \(\gamma\) potrebbe essere una qualsiasi circonferenza di raggio sufficientemente piccolo che circonda il punto \(z_0\) ed è tutta contenuta nell'aperto di olomorfia della funzione \(f\) (ma anche una curva qualsiasi con le stesse proprietà, dato che vale il Teorema Integrale di Cauchy).
Per quel che riguarda la "genesi" della serie di Laurent, pensa a quanto segue.
Per un noto teorema, un punto \(z_0\) nel quale \(f\) non è definita ed intorno al quale una funzione \(f\) è olomorfa e limitata è un punto singolare eliminabile (i.e., esiste un prolungamento \(\tilde{f}\) di \(f\) definito pure su \(z_0\) ed olomorfo in un intorno completo di \(z_0\)); quindi un punto \(z_0\) è un punto singolare per una funzione \(f\) se e solo se:
\[
\limsup_{z\to z_0} |f(z)| =+\infty \; .
\]
Quest'ultimo fatto si verifica in due casi: o quando si ha:
\[
\lim_{z\to z_0} |f(z)| =+\infty
\]
ed allora si dice che \(z_0\) è un polo per \(f\); oppure quando:
\[
\liminf_{z\to z_0} |f(z)| = \alpha < +\infty =\limsup_{z\to z_0} |f(z)|\; ,
\]
ed in tal caso si dice che \(z_0\) è una singolarità essenziale per \(f\).
Supponiamo, adesso, di voler approssimare una \(f\) dotata di singolarità polare in \(z_0\) con funzioni "più semplici possibili"... Quali funzioni sarà bene scegliere?
Beh, le funzioni "più semplici" sul mercato sono le potenze con esponente naturale, quindi sembra opportuno scegliere funzioni potenza del tipo \((z-z_0)^n\) (\(n\in \mathbb{N}\)).
Tutavia, se fosse possibile approssimare \(f\) con una serie \(\sum a_n (z-z_0)^n\) otterremmo una funzione che non presenta singolarità in \(z_0\) (poiché si avrebbe \(\limsup_{z\to z_0} |f(z)| =\lim_{z\to z_0} |f(z)|=|a_0|<+\infty\)); quindi se vogliamo approssimare una funzione singolare \(f\) con una serie di funzioni "più semplici", non possiamo ricorrere solo alle potenze naturali.
D'altra parte, notiamo che le potenze ad esponente intero \((z-z_0)^n\) (\(n\in \mathbb{Z}\)) (che sono la più immediata generalizzazione delle potenze ad esponente naturale) sono sufficientemente "più semplici" da manipolare e, cosa ancor più importante, che esse presentano in \(z_0\) una singolarità dello stesso tipo di \(f\) quando \(n<0\) perché:
\[
\lim_{z\to z_0} |(z-z_0)^n| = \lim_{z\to z_0 }\frac{1}{|z-z_0|^{-n}} =+\infty\; ;
\]
quindi tali potenze sembrano una buon scelta per approssimare \(f\) con un polo in \(z_0\).
Quindi cerchiamo di scrivere \(f\) come somma di potenze intere di \(z-z_0\), cioè come somma di una serie "bilatera":
\[
\tag{1}
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^n = \sum_{n=0}^\infty a_n\ (z-z_0)^n + \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{(z-z_0)^n}\; .
\]
Ora, si dimostra che i coefficienti \(a_n\) (\(=c_n\) per \(n\geq 0\)) e \(b_n\) (\(=c_{-n}\) per \(n\geq 1\)), che competono rispettivamente alle potenze nonnegative e negative di \(z_0\), sono univocamente determinati da \(f\) e si calcolano nel modo che sappiamo.
Inoltre, i mostra pure che \(f\) ha una singolarità polare in \(z_0\) se e solo se la serie che contiene le potenze negative di \(z-z_0\) è costituita solo da un numero finito di termini (mentre la serie che contiene le potenze nonnegative può fare ciò che vuole); quindi si può sempre scrivere:
\[
f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\ (z-z_0)^n + \sum_{n=1}^N \frac{b_n}{(z-z_0)^n}
\]
se \(f\) ha una singolarità polare in \(z_0\) ed il numero \(N\) è completamente determinato da \(f\) (e si chiama ordine del polo \(z_0\)).
Cosa succede però, se vogliamo approssimare una funzione avente in \(z_0\) una singolarità essenziale?
Bene, il discorso fatto sopra rimane identico, quindi per trovare una buona approssimazione di \(f\) costituita da funzioni "più semplici" dobbiamo ricorrere comunque ad una serie di potenze bilatera del tipo (1).
Ovviamente, si dimostra che, anche in questo caso, i coefficienti di tale serie rimangono univocamente determinati da \( f\) e si calcolano come sappiamo.
Tuttavia, in questo caso, si prova che la serie contenente le potenze negative di \(z-z_0\) in (1) contiene effettivamente infinite potenze di \(z-z_0\); ed, anzi, vale pure il viceversa, cioè: se una \(f\) si può approssimare con una serie tipo (1) con infiniti addendi contenenti potenze negative di \(z-z_0\), allora \(f\) ha una singolarità essenziale in \(z_0\).
Una serie contenente potenze intere di \(z-z_0\) si chiama serie di Laurent con centro in \(z_0\).
Con il ragionamento appena concluso abbiamo allora scoperto che ogni funzione \(f\), olomorfa intorno a \( z_0\) e singolare in \(z_0\), si può approssimare con una serie di Laurent con centro in \(z_0\); tale serie contiene solo un numero finito di potenze negative se e solo se \(z_0\) è un polo per \(f\), mentre contiene infinite potenze negative se e solo se \(z_0\) è una singolarità essenziale per \(f\).
La tua spiegazione è stata esemplare! Complimenti.
Però mi rimane sempre quel problema per quanto riguarda gli esercizi! XD
Però mi rimane sempre quel problema per quanto riguarda gli esercizi! XD
Ottimo chiarimento, Anch'io sto cercando di capire un po meglio l'argomento, che mi risulta assai ostico, e questi post aiutano molto nell'apprendimento.
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