Boreliani

[4mrkv]

1.17 Real and Complex Analysis - Rudin. Ho incontrato un teorema che presupponeva il caso complesso quindi sono andato a vedere prima il caso reale, che non avevo studiato. Con \(\varphi_{n}(t):[0,\infty]\rightarrow [0,\infty]\) esplicitando la funzione dovrei trovare
\[
\begin{split}
\varphi_{n}(t)=
\begin{cases}
[2^{n}t]/2^{n} & \mbox{ if } t \in [0,n) \\
n & \mbox{ if } t \in [n,\infty]
\end{cases}
\end{split}
\]
Siccome \([2^{n}t]/2^{n}n\) che verifica la disuguaglianza stretta. Se \(t\geq n\) basta scegliere \(n>t\). Basta ciò per dire che converge?

Per finire dovrei verificare che si tratta di una funzione boreliana. Consideriamo il caso più semplice, \(n=1\). Vediamo dal grafico link che l'immagine è \(\{0,0.5,1\}\). Discontinuità: se \(U \in \tau_{Y}\) ad esempio è centrata in \(0.5\) con raggio \(0.1\) si vede dal disegno che \(\varphi_{1}^{-1}(U)=[0.5,1)\). Come faccio a sapere che è un boreliano?

Con questo script che disegna il grafico si può vedere come viene approssimata la funzione identità.

script.m

t=0:0.001:2;
n=1;
d=length(t);

for i=1:1,
    f1(i,t,d);
end

f1.m

function f1(n,t,d)

%funzione
y=zeros(1,d);
for i=1:d,
    if (t(i)<n),
        y(i)=floor(t(i).*(2.^n))./(2.^n);
    elseif (n<=t(i))
        y(i)=n;
    end
end

%grafico
figure
plot(t,y,'r--'); hold on
plot(t,t,'k-');
%legend('...');
title(sprintf('phi_{n}(t) con n=%d',n));
xlabel('x');
ylabel('y(x)');

Edit: forse ci sono. Costruisco \([0.5,1)\) a partire dagli aperti della sigma algebra, utilizzando le sue proprietà.

[dissonance]

Che la funzione sia Boreliana si dimostra come dici. E' chiaro che $[0.5, 1)$ è un Boreliano: per esempio, lo puoi scrivere come unione di un aperto e di un chiuso. Il resto non si capisce, non è chiaro cosa tu stia facendo

[4mrkv]

Grazie, non importa. Piuttosto, perché lo scalino ad un certo punto si ferma? Non sarebbe andata bene anche \(\varphi_{n}(t)=[2^{n}t]/2^{n}\)? Tende comunque a \(t\) e continua ad essere una funzione boreliana, no?

[dissonance]

Si ma infatti si può fare come dici tu, con una infinità di scalini. Il guaio è che così non ti vengono fuori funzioni semplici, che assumono solo un numero finito di valori

[4mrkv]

Ecco perché