Bolzano-Weierstrass dimostrazione
Ciao, sapete dirmi come si dimostra il teorema di Bolzano-Weierstress in $RR^n$? So dimostrarlo per qualunque n finito ma come si fa per un n qualsiasi? C'è un modo di procedere per induzione?
Risposte
"racnix":
Ciao, sapete dirmi come si dimostra il teorema di Bolzano-Weierstress in $RR^n$? So dimostrarlo per qualunque n finito ma come si fa per un n qualsiasi? C'è un modo di procedere per induzione?
E tanto basta.
Ma se invece di dire "si itera il procedimento per le n coordinate" volessi dimostrarlo per induzione come dovrei fare?
Ma a che ti serve l'induzione?
Ho un esercizio che mi chiede di dimostrarlo per induzione
Ah, ecco...
Allora, immagino che la base dell'induzione sia acquisita (caso \(n=1\), cioè il caso della retta reale), ergo ti rimane da formalizzare il passo induttivo.
Devi perciò far vedere che se il teorema è vero per un certo \(n\) allora esso è vero pure per \(n+1\), ossia che se da ogni successione limitata in \(\mathbb{R}^n\) puoi estrarre una successione convergente, lo stesso puoi fare anche per ogni successione limitata di \(\mathbb{R}^{n+1}\).
Per evitare casino coi pedici, permettimi: di denotare con \(N\) la dimensione dello spazio (cioè di scrivere \(\mathbb{R}^N\) al posto di \(\mathbb{R}^n\) etc...); di riservarmi il pedice \(n\) per denotare l'indice da cui dipendono le successioni; e di mettere all'apice gli indici delle coordinate dei punti di \(\mathbb{R}^N\) (cioè di scrivere \(\mathbf{x}=(x^1,x^2,\ldots, x^N)\)).
Fissa a casaccio una successione \((\mathbf{a}_n)\subseteq \mathbb{R}^{N+1}\), con \(\mathbf{a}_n=(a_n^1,a_n^2,\ldots, a_n^N, a_n^{N+1})\), che sia limitata.
Osserva 1 che per ogni indice \(n\) puoi scrivere \(\mathbf{a}_n = (\mathbf{a}_n^\prime , a_n^{N+1})\), con \(\mathbf{a}_n^\prime =(a_n^1,a_n^2,\ldots, a_n^N)\in \mathbb{R}^N\) e 2 che entrambe le successioni \((\mathbf{a}_n^\prime)\subset \mathbb{R}^N\) e \((a_n^{N+1})\subset \mathbb{R}\) sono limitate (perchè?)...
Ora cosa puoi fare?
Allora, immagino che la base dell'induzione sia acquisita (caso \(n=1\), cioè il caso della retta reale), ergo ti rimane da formalizzare il passo induttivo.
Devi perciò far vedere che se il teorema è vero per un certo \(n\) allora esso è vero pure per \(n+1\), ossia che se da ogni successione limitata in \(\mathbb{R}^n\) puoi estrarre una successione convergente, lo stesso puoi fare anche per ogni successione limitata di \(\mathbb{R}^{n+1}\).
Per evitare casino coi pedici, permettimi: di denotare con \(N\) la dimensione dello spazio (cioè di scrivere \(\mathbb{R}^N\) al posto di \(\mathbb{R}^n\) etc...); di riservarmi il pedice \(n\) per denotare l'indice da cui dipendono le successioni; e di mettere all'apice gli indici delle coordinate dei punti di \(\mathbb{R}^N\) (cioè di scrivere \(\mathbf{x}=(x^1,x^2,\ldots, x^N)\)).
Fissa a casaccio una successione \((\mathbf{a}_n)\subseteq \mathbb{R}^{N+1}\), con \(\mathbf{a}_n=(a_n^1,a_n^2,\ldots, a_n^N, a_n^{N+1})\), che sia limitata.
Osserva 1 che per ogni indice \(n\) puoi scrivere \(\mathbf{a}_n = (\mathbf{a}_n^\prime , a_n^{N+1})\), con \(\mathbf{a}_n^\prime =(a_n^1,a_n^2,\ldots, a_n^N)\in \mathbb{R}^N\) e 2 che entrambe le successioni \((\mathbf{a}_n^\prime)\subset \mathbb{R}^N\) e \((a_n^{N+1})\subset \mathbb{R}\) sono limitate (perchè?)...
Ora cosa puoi fare?
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