Bolzano-Weierstrass chiarimenti
Enuncio il teorema di Bolzano-Weierstrass:
" Un insieme limitato e infinito possiede almeno un punto di accumulazione "
Adesso una diretta conseguenza di questo teorema è :
" Ogni successione a valori in un insieme chiuso e limitato A ammette una sottosuccessione convergente con limite in A. Viceversa, se ogni successione a valori in un insieme A ammette una sottosuccessione convergente con limite in A, allora A è chiuso e limitato "
Adesso la dimostrazione di " Ogni successioni in A chiuso limitato \(\displaystyle \Rightarrow \) Esiste sottosuccessione convergente in A"
E' OK.
Il dubbio sta invece nell'implicazione inversa ovvero :" Viceversa, se ogni successione a valori in un insieme A ammette una sottosuccessione convergente con limite in A, allora A è chiuso e limitato "
Vi allego la dimostrazione del mio libro di Analisi I :
".. . Se \(\displaystyle A \) ha un numero finito di elementi allora è chiuso.
Assumiamo che \(\displaystyle A \) ha un numero infinito di elementi. Allora per Bolzano-Weierstrass ammette almeno un punto di accumulazione.
Sia \(\displaystyle \alpha \) un punto di accumulazione di \(\displaystyle A \), e dimostriamo che \(\displaystyle \alpha \in A \).
Prendiamo quindi \(\displaystyle {\varepsilon}_n = 1/n \); quindi ogni intervallo ( \(\displaystyle \alpha - \varepsilon , \alpha + \varepsilon \) ) contiene un elemento \(\displaystyle a_n \) di \(\displaystyle A \) diverso da \(\displaystyle \alpha \). La successione \(\displaystyle a_n \) converge ad \(\displaystyle \alpha \) insieme a tutte le sue sottosuccessioni, [size=150]e quindi per ipotesi \(\displaystyle \alpha \in A \)[/size]".
La mia domanda:
Il mio dubbio è proprio questo. Ma per ipotesi di cosa \(\displaystyle \alpha \in A \) . Come ha dimostrato che \(\displaystyle \alpha \in A \)?? Ha solamente trovato una successione convergente in \(\displaystyle \alpha \) e ha detto che ovviamente tutte le sottosuccessioni di questa successione convergono in \(\displaystyle \alpha \); come si giunge a dire che \(\displaystyle \alpha \in A \) ?
Vi ringrazio in anticipo!
" Un insieme limitato e infinito possiede almeno un punto di accumulazione "
Adesso una diretta conseguenza di questo teorema è :
" Ogni successione a valori in un insieme chiuso e limitato A ammette una sottosuccessione convergente con limite in A. Viceversa, se ogni successione a valori in un insieme A ammette una sottosuccessione convergente con limite in A, allora A è chiuso e limitato "
Adesso la dimostrazione di " Ogni successioni in A chiuso limitato \(\displaystyle \Rightarrow \) Esiste sottosuccessione convergente in A"
E' OK.
Il dubbio sta invece nell'implicazione inversa ovvero :" Viceversa, se ogni successione a valori in un insieme A ammette una sottosuccessione convergente con limite in A, allora A è chiuso e limitato "
Vi allego la dimostrazione del mio libro di Analisi I :
".. . Se \(\displaystyle A \) ha un numero finito di elementi allora è chiuso.
Assumiamo che \(\displaystyle A \) ha un numero infinito di elementi. Allora per Bolzano-Weierstrass ammette almeno un punto di accumulazione.
Sia \(\displaystyle \alpha \) un punto di accumulazione di \(\displaystyle A \), e dimostriamo che \(\displaystyle \alpha \in A \).
Prendiamo quindi \(\displaystyle {\varepsilon}_n = 1/n \); quindi ogni intervallo ( \(\displaystyle \alpha - \varepsilon , \alpha + \varepsilon \) ) contiene un elemento \(\displaystyle a_n \) di \(\displaystyle A \) diverso da \(\displaystyle \alpha \). La successione \(\displaystyle a_n \) converge ad \(\displaystyle \alpha \) insieme a tutte le sue sottosuccessioni, [size=150]e quindi per ipotesi \(\displaystyle \alpha \in A \)[/size]".
La mia domanda:
Il mio dubbio è proprio questo. Ma per ipotesi di cosa \(\displaystyle \alpha \in A \) . Come ha dimostrato che \(\displaystyle \alpha \in A \)?? Ha solamente trovato una successione convergente in \(\displaystyle \alpha \) e ha detto che ovviamente tutte le sottosuccessioni di questa successione convergono in \(\displaystyle \alpha \); come si giunge a dire che \(\displaystyle \alpha \in A \) ?
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
L'ipotesi era che da ogni successione a valori in $A$ tu puoi estrarre una sottosuccessione convergente ad un punto in $A$, ma dato che la successione trovata converge ad $\alpha$, anche tutte le sottosuccessioni convergeranno ad $\alpha$, in particolare lo farà quella di cui conosci per ipotesi l'esistenza che ha limite in $A$, dunque $\alpha\inA$.
Comunque la dimostrazione del tuo libro è imprecisa in un punto, quando dice che si può applicare Bolzano-Weierstrass in realtà non ha ancora dimostrato che è limitato, anche se tutto sommato è facile.
Comunque la dimostrazione del tuo libro è imprecisa in un punto, quando dice che si può applicare Bolzano-Weierstrass in realtà non ha ancora dimostrato che è limitato, anche se tutto sommato è facile.
No no c'era assolutamente quella parte, l'ho omessa io perché l'avevo capita. Avevo infatti messo i puntini di omissione.
Comunque si ho capito grazie mille, infatti nonostante avessi letto e capito che da ipotesi il limite era in A, non so per quale motivo il mio cervello si rifiutava di visualizzare ciò.
Perfetto ti ringrazio, anzi mi scuso forse per la domanda piuttosto banale!
Comunque si ho capito grazie mille, infatti nonostante avessi letto e capito che da ipotesi il limite era in A, non so per quale motivo il mio cervello si rifiutava di visualizzare ciò.
Perfetto ti ringrazio, anzi mi scuso forse per la domanda piuttosto banale!
Ma figurati, capita a tutti di non capire qualcosa solamente perché non si riesce a capire come collegare alcune cose che si sono capite, non aver paura di fare domande banali, è meglio se ti togli tutti i dubbi, poi meglio incepparsi su una cosa qui che all'esame no 
?
?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo