Bochner-Lebesgue spaces. Un chiarimento sui duali
Ciao,
qualcuno potrebbe aiutarmi a chiarire alcuni dubbi. Su "Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology, vol.5, Evolution Problems I " di Dautray and Lions vengono introdotti alcuni spazi funzionali. Nello specifico, data una tripla di Gelfand $V \subset H \subset V'$ considerano lo spazio $L^2([0,T];V)$ e lo spazio $W([0,T];V,V')$ (su altri testi e articoli talvolta denotato con $H^1([0,T];V,V')$ ) definiti rispettivamente come lo spazio di funzioni a valori in $V$, quadrato integrabili nell intervallo $[0,T]$ e lo spazio di funzioni a valori in $V$, quadrato integrabili nell intervallo $[0,T]$, la cui derivata debole ha valori in $V'$ ed e' quadrato integrabili nell intervallo $[0,T]$.
Viene dimostrato che sono entrambi spazi di Hilbert e vengono introdotte le rispettive norme.
Quello che mi domando e', non potendo identificare $V$ e $V'$, non posso nemmeno identificare $L^2([0,T];V)$ con $L^2([0,T];V')$ suo duale. Devo quindi trattare $L^2([0,T];V)$ come uno spazio di Banach quando lavoro col suo duale?
Inoltre, cosa posso dire del duale di $W([0,T];V,V')$? Posso caratterizzarlo esplicitamente in termini unione/intersezione di spazi noti? E in tal caso, come posso farlo e come posso scrivere esplicitamente il dual pair $ \langle u,v \rangle$ , per $u \in W([0,T];V,V')$ e $v\in W([0,T];V,V') '$?
Grazie mille in anticipo,
M.
qualcuno potrebbe aiutarmi a chiarire alcuni dubbi. Su "Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology, vol.5, Evolution Problems I " di Dautray and Lions vengono introdotti alcuni spazi funzionali. Nello specifico, data una tripla di Gelfand $V \subset H \subset V'$ considerano lo spazio $L^2([0,T];V)$ e lo spazio $W([0,T];V,V')$ (su altri testi e articoli talvolta denotato con $H^1([0,T];V,V')$ ) definiti rispettivamente come lo spazio di funzioni a valori in $V$, quadrato integrabili nell intervallo $[0,T]$ e lo spazio di funzioni a valori in $V$, quadrato integrabili nell intervallo $[0,T]$, la cui derivata debole ha valori in $V'$ ed e' quadrato integrabili nell intervallo $[0,T]$.
Viene dimostrato che sono entrambi spazi di Hilbert e vengono introdotte le rispettive norme.
Quello che mi domando e', non potendo identificare $V$ e $V'$, non posso nemmeno identificare $L^2([0,T];V)$ con $L^2([0,T];V')$ suo duale. Devo quindi trattare $L^2([0,T];V)$ come uno spazio di Banach quando lavoro col suo duale?
Inoltre, cosa posso dire del duale di $W([0,T];V,V')$? Posso caratterizzarlo esplicitamente in termini unione/intersezione di spazi noti? E in tal caso, come posso farlo e come posso scrivere esplicitamente il dual pair $ \langle u,v \rangle$ , per $u \in W([0,T];V,V')$ e $v\in W([0,T];V,V') '$?
Grazie mille in anticipo,
M.
Risposte
Non so se stai facendo un lavoro veramente utile. Immagino tu stia studiando dei problemi di evoluzione non lineari, per cui ti servono questi spazi di evoluzione per introdurre delle formulazioni deboli. Nella mia scarsa esperienza l'analisi funzionale di questi spazi non è estremamente importante, o almeno, non lo è tanto come nel caso ellittico. Più che teoremi astratti qui ti servono disuguaglianze e stime concrete.
Si, un'applicazione potrebbe essere senz'altro quella, ma nell'immediato mi serviva piu' che altro capire come trattare concretamente i duali degli spazi menzionati e, in un secondo momento, capire se esiste un analogo della teoria di Minty per soluzioni a $A(u) = f$ in $X'$, con $A:K\subsetX \rightarrow X'$, $X$ Banach riflessivo e $K$ chiuso non vuoto e convesso (Kinderlehrer - Stampacchia, "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications Classics in Applied Mathematics", per esempio ) quando l operatore non e' definito da uno spazio al suo duale ma, per esempio, da $L^2([0,T];V)$ in $W([0,T];V,V')'$.
Non lo so. Se qui non ti risponde nessuno prova a chiedere su qualche forum di ricercatori tipo MathOverflow.
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