Blocco nell'uso dei moltiplicatori di Lagrange

[freddofede]

Avendo la funzione $f(x,y)=x-y$ vincolata con la condizione $\arctg x^{2}+y^{2}-2=2-x+y$, ho cercato i punti critici tramite i moltiplicatori di Lagrange, ottenendo il seguente sistema:

$1+\lambda(\frac{2x}{1+\(x^{2}+y^{2}-2)^{2}}+1) = 0$
$1+\lambda\(\frac{2y}{1+(x^{2}+y^{2}-2\)^{2}}+1)=0$
$\arctg (x^{2}+y^{2}-2)=2-x+y$

Dalle prime due equazioni a me torna $x=-y$, ma poi mi son bloccato. Come posso proseguire?

[Lord K]

La funzione da tenere sott'occhio è:

$Gamma(x,y) = f(x,y) - lambda*g(x,y)$

dove:

$f(x,y)=x-y$
$g(x,y) = arctg(x^2+y^2-2) +x-y-2$

ricordo che il vincolo si scrive come $g(x,y)=c$:

Allora valuto poi:

$(del Gamma)/(del x)=0 Rightarrow 1 + lambda*{(2x)/[(x^2+y^2-2)^2+1] + 1}=0$
$(del Gamma)/(del y)=0 Rightarrow 1 + lambda*{(2y)/[(x^2+y^2-2)^2+1] - 1}=0$
$(del Gamma)/(del lambda)=0 Rightarrow arctg(x^2+y^2-2) +x-y - 2=0$

Allora dalle prime due ho che $x=y$ che poi vado a sostituire nella terza:

$arctg(2x^2+2) - 2 = 0$
$x^2+1 = 1/2tg(2)$
$x^2 = 1/2tg(2) - 1$
$x=+-sqrt(1/2tg(2) - 1)$

[freddofede]

Grazie per la risposta. Tre osservazioni a bruciapelo:

- Nella seconda derivata parziale penso che il primo termine venga -1
- La funzione $\Gamma$ sul libro risulta $f(x,y)+\lambda g(x,y)$
- La soluzione dovrebbe essere il punto (1,-1)

[Lord K]

"lore":Grazie per la risposta. Tre osservazioni a bruciapelo:

- Nella seconda derivata parziale penso che il primo termine venga -1

Dove?

- La funzione $\Gamma$ sul libro risulta $f(x,y)+\lambda g(x,y)$

Verissimo, ho riportato male il dettaglio.

- La soluzione dovrebbe essere il punto (1,-1)

Toccherà allora riguardare visto che probabilmente c'è un errore

[freddofede]

Intendo che viene:

$\frac{del \Gamma}{del y}=0\Rightarrow -1+\lambda(\frac{2y}{(x^{2}+y^{2}-2)^{2}+1}-1)=0$

[Lord K]

Hai ragione. Il mio procedimento è corretto, i calcoli meno! ^_^