Bloccato su un limite

[StefanoMDj]

sono bloccato nel risolvere questo limite

per $x->+oo$

$x^(logx)/(log(x))^x$

quello che mi era venuto in mente era di applicare una sostituzione per $log(x)=t$ $x=e^t$

arrivando così a $e^(t^2)/(t^(e^t))$ avendo un $oo/oo$ provo de l'hopital

e otterrei $(2t*e^(t^2))/(e^(e^t*log(t)))$

che volendo potrei rendere asintotico a $(e^(t^2))/(e^(e^t))$ che risulterebbe in base alle sostituzioni

$x^2/e^x$ = $0$ per $x->oo$.....a dire il vero mi sembra un bel po' macchinoso...voi che ne dite?

[ciampax]

Che io avrei scritto $x^{\log x}=e^{\log^2 x}$ e $(\log x)^x=e^{x\log x}$ in modo da ricondurmi al limite della funzione

$e^{\log^2 x-x\log x}=e^{\log x\cdot(\log x-x)}$

che mi pare molto più abbordabile.

[StefanoMDj]

sul primo ci sono anche io più o meno...è il secondo che mi frega $(log(x))^x$

a me risulta come $e^(log(x(log(x))))$...come hai fatto a trasformarlo in $e^(x(log(x)))$ ????

cavoli sto impazzendo xD

[ciampax]

Perché

$(\log x)^x=e^{\log(\log x)^x}=e^{x\log(\log x)}$

M'ero perso un logaritmo. Mentre per il primo

$x^{\log x}=e^{\log x^{\log x}}=e^{\log x\cdot \log x}=e^{\log^2 x}$.

A questo punto hai la funzione

$e^{\log^2 x-x\log(\log x)}$

nella quale puoi porre $\log x=t,\ x=e^t$ e quindi il limite

$\lim_{t\to+\infty} e^{t^2-e^t \log t}$

Nell'esponente, puoi raccoglire $e^t$ ottenendo $e^t\cdot({t^2/e^t-\log t)$: ora $\lim_{t\to+\infty}t^2/e^t=0$ e quindi il limite si riconduce a

$\lim_{t\to+\infty} e^{-e^t\log t}=\lim_{t\to+\infty} e^{\log t^{-e^t}}=\lim_{t\to+\infty} t^{-e^t}=\lim_{t\to+\infty}1/{t^{e^t}}=0$

In quanto il denominatore è infinito.