Bloccato su un limite

[sgrisolo]

Ciao e buona domenica a tutti,

mi sono bloccato sul seguente limite
$lim_(x->0) (-log(1+sin(x+pi/2))+log2)/x$


Ho provato molto ma non riesco a schiodarmi.

[Bremen000]

Usa gli archi associati (?) su \( \sin(x+\pi/2) \), poi puoi usare Taylor e le proprietà dei logaritmi. Se non riesci, vediamo che si può fare!

[pilloeffe]

Ciao sgrisolo,

Se puoi usare de l'Hôpital è semplice, infatti si ha:

$ \lim_{x \to 0} (-log(1+sin(x+pi/2))+log2)/x = \lim_{x \to 0} (log2 - log[1 + cos(x)])/x = \lim_{x \to 0} (log[2/(1 + cos(x))])/x \overset{H} = $
$ \overset{H} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + cos(x)}{2} \cdot \frac{2 sin(x)}{[1 + cos(x)]^2} = \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{1 + cos(x)} = 0 $

[sgrisolo]

Caspita, non avevo visto la precedente risposta.

Grazie a entrambi, proverò in tutti e due i metodi

[pilloeffe]

Stavo osservando che è un po' più laborioso, ma in realtà il limite proposto si può risolvere anche senza usare de l'Hôpital, infatti si ha:

$ \lim_{x \to 0} (-log(1+sin(x+pi/2))+log2)/x = \lim_{x \to 0} (log2 - log[1 + cos(x)])/x = \lim_{x \to 0} (log[2/(1 + cos(x))])/x = $
$ = \lim_{x \to 0} 1/x log[(1 + cos(x) + 1 - cos(x))/(1 + cos(x))] = \lim_{x \to 0} 1/x log[1 + (1 - cos(x))/(1 + cos(x))] = $
$ = \lim_{x \to 0} \frac{log[1 + (1 - cos(x))/(1 + cos(x))]}{(1 - cos(x))/(1 + cos(x))} \cdot (1 - cos(x))/x \cdot 1/(1 + cos(x)) = 1 \cdot 0 \cdot \frac{1}{1 + 1} = 0 $

[21zuclo]

anche senza Hopital (il mio esercitatore di Analisi 1, ci diceva di non usare sempre Hopital)

allora dalla trigonometria si ha che \( \sin(\pi/2 +\alpha)=\cos(\alpha) \)

quindi \( \sin(x+\pi/2)=\cos(x) \)

il limite lo puoi riscrivere così $ \lim_(x\to 0) (-\ln(1+\cos(x))+\ln 2)/(x) $

lo sviluppo di Mc Laurin del coseno quando $x\to 0$ è $ \cos(x)=1-(x^2)/(2)+o(x^2) $

quindi hai che
$ \lim_(x\to 0) (-\ln(1+1-(x^2)/(2)+o(x^2))+\ln2)/(x) $ \( \sim \) $ (-(x^2)/2)/(x) =-x/2 \to 0 $ per $x\to 0$

[Bremen000]

@ 21zuclo, ti sei perso un $2$